Krümmung der Zissoide y^2·(2 - x) = x^3 im Punkt P(1, 1)?

Question

Ich wäre über einen einfacheren Lösungsvorschlag sehr dankbar!

Um die Krümmung dieser Funktion zu bestimmen, habe ich folgende Formeln:

Explizite Form/ Parameterdarstellung

 

Ich habe mich mit der expliziten Form auseinander gesetzt und beide Ableitung sehr umständlich mit impliziter Differentiation und Produkt- und Kettenregel entwickelt:

(2. von WA vereinfacht)

Die Ableitungen in die explizite Krümmungs-Formel eingesetzt:

Die Abzisse x=1 des Punktes eingesetzt:

Und das korrekte Ergebnis erhalten

Meine Differentiation war definitiv komplizierter als vom Aufgabensteller vorgesehen.

Ich habe die explizite Funktionsgleichung auch schon in Parameterform entwickelt, die Ableitungen haben sich für mich aber noch komplizierter dargestellt.

Ich könnte mir vorstellen, dass  die Parameterform bei richtiger Entwicklung eventuell einfacher und zielführend ist.

Oder habt ihr andere Ideen?

Answer 1

Die Antwort von Pleindespoir scheint mir völlig wirr und unverständlich; ich vermag sie nicht nachzuvollziehen. Wo liegt hier eigentlich das Problem? Jetzt beachte doch bitte mal, was implizites Differenzieren wirklich bedeutet. Die Ausgangsform steht doch schon da:

y  ³  (  2  -  x  )  =  x  ³        (  1  )

Aus der Aussage x = 1 folgt triviaol y = 1 ; das wollen wir im Hinterkopf behalten. Erste Ableitung von ( 1 )  wie üblich mittels Produkt-und Kettenregel

3  y  ²  y  '  (  2  -  x  )  -  y  ³  =  3  x  ²        (  2a  )

Jetzt den Punkt P einsetzen in ( 2a )

3  f  '  (  P  )  -  1  =  3  ===>  f  '  (  P  )  =  4/3     (  2b  )

Du siehst effektiv.  Du könntest auch die 4 711 . Ableitung bestimmen; du wirst auf ein LGS geführt, das dir bereits im ( oberen ) Gaußschen Dreiecksverfahren alles Mund gerecht vorkaut.   Doch; wir sind sicher, dass das nie singulär wird, weil ja in jedem Schritt der Koeffizient der höchsten, der zu bestimmenden Ableitung bleibt  "  3 y ²  ( 2 - x ) "  Jetzt  (  2a  )  ableiten

3  y  ²  y  "  (  2  -  x  )  +  6  y  y  '  ²   (  2  -  x  )  -  3  y  ²  y  '  -  3  y  ²  y  '  =  6  x  |  :  3   (  3a  )

Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen; ich wenn euer Pauker wär .. Bei mir würds Strafpunkte hageln ohne Ende.

y  ²  y  "  (  2  -  x  )  +  2  y  y  '  ²   (  2  -  x  )  -  2  y  ²  y  '  =  2  x         (  3b  )

Jetzt wieder einsetzen von P

f  "  (  P  )  +  2  f  '  ²  (  P  )  -  2  f  '  (  P  )  =  2     (  3c  )

f  "  (  P  )  +  2  *  4/3  (  4/3  -  1  )  =  2   ===>  f  "  (  P  )  =  10/9     (  3d  )

Bei der Verbesserung der zurück gegebenen Klassenarbeiten pflegte unser gefürchteter Mathelehrer, der Scientologe " Rolf " , zu sagen

" Meine Herren; das war alles .. "

Comments

Danke für die Mühe.

Leider hast du die Gleichung nicht ganz korrekt abgeschrieben.

Prinzip ist klar.

Answer 2

Ohne Onkel Wolfi:

$$ y^2 (2-x)=x^3 $$
$$ 2 y^2 -xy^2-x^3 =0 $$
$$\frac{\partial f}{\partial x}= -y^2-3x^2    $$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=  4y-2xy  $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{-y^2-3x^2 }{4y-2xy} $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{y^2+3x^2 }{2xy-4y} $$

die 2. Abl. geht nach dem gleichen Schema

Comments

Ich gestehe infolge einer üblen Kombination Ahnungslosigkeit und Unaufmerksamkeit basierenden Verwirrung eine sachlich unzutreffende Beantwortung der Fragestellung vogenommen zu haben.

Ich bitte die meiner fehlerbehafteten Anleitung folgend in die Irre Geführten den Vorfall zu entschuldigen.