Ich habe folgende Potenzreihe:
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n} \quad \) mit \( \quad a_{n}:=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+n^{2}} & \text { für } n \text { gerade } \\ \frac{1}{\sqrt{3^{n}+n}} & \text { für n ungerade }\end{array}\right. \)
und soll den Radius daraus bestimmen.
Meine Idee:
Ich mache 2 Potenzreihen daraus, und der kleinere Radius ist mein Konvergenzradius.
einmal setze ich für ungerade n n=2k und einmal setze ich für gerade n n=(2k+1)
\( \frac{1}{1+\left(2 k^{2}\right)} \quad \) mit \( \quad \lim \limits _{ k \rightarrow \infty } \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \)
doch für n= 2k+1 komme ich nicht wirklich weiter:
Laut TR sollte hierfür ein Wert von 1/sqrt(3) herauskommen. also wäre dieser Radius sqrt(3).
Doch leider hänge ich an dieser Stelle.
Stimmt das was ich da tue überhaupt?, und wie komme ich auf die 1/sqrt(3)
Sollte alles stimmen ist der Konvergenzradius 1, denn sqrt(3)>1.
