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Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter . Kann mir jemand bitte den Lösungsweg schreiben.?

limnn+nn\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \quad \sqrt { n+\sqrt { n } } -\quad \sqrt { n }

Vielen Dank

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Beste Antwort

Erweitere mit n+n+n \sqrt{n +\sqrt{n}} + \sqrt{n} und benutze die dritte Binomische Formel.

Das Ergebnis ist 11+1n+1 \frac{1}{\sqrt {1+\sqrt{\frac{1}{n}}}+1} und das geht gegen 12 \frac{1}{2}

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EDIT:
Antwort wurde bearbeitet.
Mein Kommentar ist somit nicht sinnvoll.

Da warts Du aber schnell. Aber ich habe den fehler noch gesehen, trotzdem Danke.

Kann mir jemand erklären wie man da kürzt? Ich komme nicht auf das ergebnis von ullim

(n+nn)n+n+nn+n+n=n+nnn+n+n=nn+n+n=11+nn+1=11+1n+1 \left( \sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}} = \frac{ n+\sqrt{n} -n }{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}} = \frac{1}{ \sqrt{1+\frac{\sqrt{n}}{n}} + 1 } = \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n}}} + 1}

Im vorletzten Schritt habe ich mit 1n \frac{1}{\sqrt{n}} erweitert.

Danke. Habs endlich verstanden.

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