Ganzrationale Funktion vierten Grades bestimmen mithilfe von Wendepunkt (0|0) und Tiefpunkt A (-1|-2)

Question

Ich habe ein Problem:

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W (0|0) mit der x-Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A(-1|-2) besitzt.

Soviel weiß ich schon:

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+c

f'(x) = 4ax^3+3bx^2+2cx+d

f''(x) = 12ax^2+6bx+2c

Wendepkt:

(1) f(0)=0

(2) f'(0)=0

(3) f''(0)=0

Tiefpkt:

(4) f(-1)=-2

(5) f'(-1)=0

Irgendwie muss ich das dann einsetzen oder so und bekomme dann 5 gleichungen die ich lösen muss, gerade das kann ich aber nicht. Über eine Lösung vielleicht sogar mit Erklärung ( wenn genug Zeit ) wäre ich überaus dankbar.

Answer 1

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W (0|0) mit der x-Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A(-1|-2) besitzt.

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

f(0) = 0 --> e = 0

f'(0) = 0 --> d = 0

f''(0) = 0 --> 2·c = 0

f(-1) = -2 --> a - b + c - d + e = -2 --> a - b = -2

f'(-1) = 0 --> - 4·a + 3·b - 2·c + d = 0 --> - 4·a + 3·b = 0

Wir lösen das LGS und erhalten: a = 6 ∧ b = 8

f(x) = 6·x^4 + 8·x^3

Comments

Danke !!!!!!

Aber, ich verstehe immer noch nicht wie genau ich das LGS auflöse bzw. wie ich das überhaupt aufstelle. Wäre nett wenn mir irgendwer das ganze nochmal ab der Stelle mit dem LGS erläutern könnte. Also aufstellen und auflösen.

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Welche der Zeilen verstehst du denn nicht

f(x) = a·x⁴ + b·x³ + c·x² + d·x + e

f(0) = 0 --> e = 0

f'(0) = 0 --> d = 0

f''(0) = 0 --> 2·c = 0

f(-1) = -2 --> a - b + c - d + e = -2 --> a - b = -2

f'(-1) = 0 --> - 4·a + 3·b - 2·c + d = 0 --> - 4·a + 3·b = 0

----------

a - b = -2

- 4·a + 3·b = 0

4*I + II

4a - 4b = -8

- 4a + 3b = 0

-b = -8 → b = 8

Dann das b noch irgendwo einsetzen und a ausrechnen.

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Genau den zweiten Teil meinte ich, den hatte ich erst nicht verstanden aber dank dir hab ich jetzt ! Danke !

Answer 2

Ursprungsfrage: Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W (0|0) mit der x-Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A(-1|-2) besitzt.

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Das ist aufwändig:

du willst wissen wie die Funktion ax^4+bx^3+cx^2+dx+e aussieht. Du brauchst um die 5 Parameter zu bestimmen fünf Informationen um 5 Gleichungen aufstellen zu können:

Wendepkt:

(1) f(0)=0

(2) f'(0)=0

(3) f''(0)=0

Tiefpkt:

(4) f(-1)=-2

(5) f'(-1)=0

So diese 5 jetzt alle aufstellen und dann versuchen das Gleichungssystem aufzulösen und die Parameter zu ermitteln.

Comments

Wie kommt man denn auf f‘(x)= 0

Ich weiss bei einem Wendepunkt muss die 2. Ableitung = 0 sein also f‘‘(x)=0 und f(0)=0 weil der Punkt dadurch geht aber wieso f‘(x)=0?

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Weil im Wendepunkt die Wendetangente Steigung 0 hat (siehe Aufgabe).

Answer 3

f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

f'(x) = 4*a*x^3+3*b*x^2+2*c*x+d

f"(x)=12*a*x^2+6*b*x+2

Wenn du jetzt die Zahlen in deinen Bedingungen einsetzt, erhältst du 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten

Comments

Hä ? Also so oder wie:
f(0) = e -> e = 0
f'(0) = d -> d = 0
f''(0) = 2c
f(-1) = a-b+c
und f'(-1) = -4a+3b-2c ?
Ich weiß nicht weiter...

Answer 4

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W (0|0) mit der x-Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A(-1|-2) besitzt.

Der Graph hat im Wendepunkt eine dreifache Nullstelle.
Linearfaktorenform:

\( f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)\)

...und den Tiefpunkt A(-1|-2) besitzt: waagerechte Tangente an der Stelle \( x=-1 \):

\( f'(x)=a(4x^3-3Nx^2)\)

\( f'(-1)=a(-4-3N)=0\)

\( N=-\frac{4}{3}\)

\( f(x)=a(x^4+\frac{4}{3}x^3)\)

A(-1|-2)

\( f(-1)=a(1-\frac{4}{3})=-2\)

\( a=6\)

\( f(x)=6(x^4+\frac{4}{3}x^3)\)

Comments

Wendepunkte haben keine Nullstellen.

Es fehlen außerdem diverse Klammern.

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Besser: Der Graph hat im Wendepunkt eine dreifache Nullstelle.

Es wäre doch nett, wenn du schon kommentiert, dass du dann gleich einen Verbesserungsvorschlag machst.

Vielleicht würde Moliets dann daraus auch mehr lernen für zukünftige Antworten.

Und von Moliets wäre es tatsächlich nett, wenn er gleich die Antwort verbessert. Dann könnten auch Fehlerkommentare entfernt werden und spätere Leser werden nicht durch ungenaue Antworten verwirrt.

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Es wäre doch nett, wenn du schon kommentiert, dass du dann gleich einen Verbesserungsvorschlag machst.

Ich finde es respektlos, dass Du M absprichst, nach Hinweis die Formulierung selbst verbessern zu können. Das traue ich ihm durchaus zu. Warum Du nicht?

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Ich erwarte durchaus, dass jemand seine eigenen Fehler finden kann, wenn man darauf hinweist. Und wenn meine Hinweise unklar sind, besteht noch immer die Möglichkeit, nachzuhaken. Aber selbst hier kaust du den Leuten alles vor und sprichst ihnen jede Denkfähigkeit ab. Ekelhaft.

Dass M. aus Hinweisen und Kritik nichts lernt, zeigt er jeden Tags aufs Neue, kann man sich daher sparen.