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ich mache gerade meine Mathehausaufgaben und habe das Thema leider nicht wirklich verstanden.
Ich muss eine ganzrationale Funktion dritten Grades aus dem Tiefpunkt T(1|2) und dem Wendepunk (0|0) bestimmen, dazu wird gefragt, ob es möglich ist oder nicht.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt, lautet die allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=ax³+bx²+cx+d

Und die Ableitung:
f'(x)=3ax²+2bx+c

Jedoch komme ich nicht weiter, ich weiß noch nicht einmal wie ich anfangen soll.

von
f(0) = 0 -> d =0

f'(1) = 0
⇔ 3a + 2b + c = 0
⇔ c = - 3a - 2b

f(1) = a + b + c = 2

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Eigentlich ist es nicht möglich, da sich bei einer Funktion 3. Grades der Tiefpunkt von der y-Koordinate unterhalb des Wendepunktes befinden sollte. Wir müssten also bei (1|2) ein Hochpunkt haben oder ein Tiefpunkt bei (1|-2). Ich wähle mal den Hochpunkt bei (1|2).

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b

Hochpunkt (1|2)

f(1) = 2
a + b + c + d = 2

f'(1) = 0
3·a + 2·b + c = 0

Wendepunk (0|0)

f(0) = 0
d = 0

f''(0) = 0
2·b = 0

Das ganze ist ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten und das sollte lösbar sein.

a + b + c + d = 2
3·a + 2·b + c = 0
d = 0
b = 0

Wir setzen zunächst mal b und d in die anderen Gleichungen ein und können dann auch leicht a und b ausrechnen. Die Lösung finden wir mit a = -1 ∧ b = 0 ∧ c = 3 ∧ d = 0

f(x) = -x^3 + 3·x

Skizze:

von 440 k 🚀

Hatte gerade ein ähnliches Problem und deine Antwort hat mir dann ein Licht aufgehen lassen. Wollte nur mal Danke sagen :D

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