Zeigen Sie, dass die Potenzmenge P(X) mit der symmetrischen Differenz Δ als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

Question

Sei \( X \) eine Menge. Wir definieren auf der Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) die symmetrische Differenz \( \Delta \) durch
$$ A \Delta B:=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \text { für alle } A, B \subseteq X $$
Zeigen Sie, dass \( \mathcal{P}(X) \) mit \( \Delta \) als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

Bemerkung: Mit der Verknüpfung \( \Delta \) als Addition und \( \cap \) als Multiplikation bildet \( \mathcal{P}(X) \) sogar einen kommutativen Ring.

Answer 1

Man muss praktisch nur die Gruppenbedingungen in die Formel da einsetzen. Die Assoziativität zu zeigen ist natürlich enorme Schreibarbeit, aber wenn es nicht verboten ist, reicht sicher auch eine grafische Darstellung.