Zeigen Sie, dass P(X) mit ∆ als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

Question

Mir ist bewusst, dass ich die Gruppenbedingungen in die Formel einsetzen muss, komme jedoch alleine nicht weiter.

Answer 1

Abgeschlossenheit:  Seien A,B ∈ P(X) , also Teilmengen von X  .
Dann ist auch A Δ B auch wieder eine Teilmenge von X, also in P(X) .

==>   ( P(X) , Δ ) ist abgeschlossen.

Assoziativ: Seien A,B,C ∈ P(X) .

Zeige (  A Δ B )  Δ C  =    A  Δ (  B Δ C )

Findest du hier: https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Mengenlehre:_Mengenoperation:_Assoziativgesetz#Symmetrische_Differenz

neutrales El:

Gesucht ist ein E mit   A Δ E = A für alle Teilmengen A von X.

also muss gelten ( A \ E ∪ E \ A ) = A  für alle A ∈ P(X).

Für E=∅ ist das erfüllt; denn   A \ ∅   ∪ ∅  \ A

                                               = A    ∪ ∅

                                             = A.

Und zu jedem El. ein inverses. Sei also A∈ P(X).

Suche ein B ∈ P(X) mit  A Δ B =  ∅

        also   ( A \ B ∪ B \ A ) =    ∅

==>  A \ B =    ∅    und   B \ A =    ∅

also A=B. ==>  Jedes Element A∈ P(X)

ist zu sich selbst invers.