Linearkombination von Vektoren schwer

Question

Woe stellt man eine Linearkombination wenn man mehr als 2 Vektoren hat z.b.

Stelle den Vektor x als Linearkombination der vektoren (2/0/1) (1/1/1) (0/1/-1)

1.Gleichung aufstellen

(5/0/4) = r * (2/0/1) + s * (1/1/1) + t* (0/1/-1)

2. Gleichungssysteme 

I. 5= 2r + s

II. 0= s+t

III. 4= r+s-t

Ich habe versucht dass ich 2 Gleichungen subtrahiere dass 2 Variabeln verschwinden aber das ist mir nicht gelungen.. was soll man machen?

Answer 1

Im ersten Schritt kannst du nur eine Variable verschwinden lassen:

II   hat nur s und t

wenn du III mit 2 multiplizierst und das Ergebns von I subtrahierst, hast du zwei Gleichungen mit s und t.

Wenn du beide geschickt multiplizierst, kannst du wieder die Differenz der Ergebnisgleichungen bilden und hast eine Gleichung mit einer Variablen.

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Du kannst aber auch I nach r = ... umstellen und II nach t = ... umstellen.

Die Terme kannst du dann für r und t in III einsetzen und erhältst eine Gleichung, in der nur noch s vorkommt.

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Answer 2

Ich kann bei dir keinen Fehler finden. Du musst nur zu Ende rechnen.

Aus Gleichung II folgt:
s = -t

Einsetzen in Gleichung III liefert:
4 = r - t - t = r - 2t
r = 2t + 4

Setzt man diese Ausdrücke für r und s in Gleichung I ein, erhält man:

5 = 2 * (2t + 4) - t = 3t + 8
t = -1

s = -(-1)
s = 1

r = 2 * (-1) + 4
r = 2