zeige, dass der Grenzwert von q^n/n! Null ist.

Question

hallo zusammen. hab ein kleines problem mit folgender aufgabe:

Sei q∈ℝ. Zeige $$ \lim _{ n->\infty  }{ \frac { { q }^{ n } }{ n! }  } =\quad 0 $$

Ich hätte jetzt so angefangen:

Sei ε>0 gegeben. 

ZZ: ∀ n≥N gilt $$ \frac { { q }^{ n } }{ n! }  $$ ≤ε 

jetzt hackt es bloß mit der Fakultät

Rein intuitiv würde ich schreiben: $$ \frac { q }{ 1 } \frac { q }{ 2 } \frac { q }{ 3 } \frac { q }{ 4 } \frac { q }{ 5 } ...=0 $$

ist aber bestimmt nicht so verlangt

Hat jemand vielleicht eine Idee?

Comments

Abend, 

Ich soll zeigen, dass qⁿ  /n! -> 0( für n-> ∞ ). q∈IR

Ich hab mir zunächst gedacht, ich schreibe die Folge aus. Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter. Wäre q eine bestimmte Zahl dann wäre es kein Problem.

Diesmal muss ich es aber allgemein zeigen.

Kann mir jemand helfen ? 

Danke :) 

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Aus welcher Menge stammt q ? Welche Art von Zahl ist q ?

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Oh tut mir Leid !

q∈IR

Answer 1

Typischerweise wird mit der Konvergenz der Exponentialreihe argumentiert, \(q^n/n!\) ist ja das allgemeine Glied der Reihe für \(e^q\), d.h. es muss \(q^n/n!\to0\) gelten.

Fuer einen direkten Beweis kann man die einfach zu gewinnende Ungleichung \(n!>(n/2)^{n/2}\) benutzen.

Answer 2

Egal wie gross er Betrag von q ist.

Es gibt sicher ein

no Element n mit no > |q|. 

ohne Einschränkung der Allgemeinheit ist q > 0.  (du kannst den Fall q < 0 bei Unsicherheit analog noch ansehen  oder Betragszeichen setzen. 

Nun ist

q^n / n! = (q^{no}/no!  )*  q^{n-no} / ((no +1)(no+2)....(n))

=  (q^{no}/no! )*  q / (no +1) * q/(no+2)....q/ (n)

< (q^{no}/no! ) *  (q / (no +1))^{n-no} 

hier ist nun der erste Faktor endlich und der zweite geht gegen 0.

==> Die Folge ist eine Nullfolge. 

Comments

huch.....so haben wir noch gar keinen Grenzwert gezeigt :o 

Givt es vielleicht noch einen anderen Weg?

Verstehe diesen nicht so gut