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Ich bitte um die Rechnung dieser Aufgabe.Bild Mathematik

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Jede Aufgabe der Form "Berechne xyz nach t Stunden mithilfe der xyz-Geschwindigkeit f(t)" kann so gelöst werden: t0xf(t)t dt\int_{t_0}^x f(t)\cdot t\ \text d t

t_0 ist dabei dein Anfangswert, meistens Null. Das Integral einer Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selber mal einem Faktor log(Basis), der von der Basis der Exponentialfunktion abhängt:

0xf(t)tdt=2log(0.905)0.905tt=0x=2log(0.905)(0.905x0.9050)=2log(0.905)(0.905x1)\int_0^xf(t)t\text dt=\left.2\log(0.905)\cdot0.905^t\right|_{t=0}^x=2\log(0.905)\cdot(0.905^x-0.905^0)=2\log(0.905)\cdot(0.905^x-1)

Log ist dabei der natürliche Logarithmus, vielleicht nennt ihr ihn auch ln. Beachte für die Skizze, dass log(0.905) eine negative Zahl nahe Null ist. Für b) setzt du x=12, für c) setzt du die Stammfunktion gleich 1/2 und formst um (mit Anwendung des Logarithmus), für d) dasselbe mit 0.01 und für e) setzt du x=24*30 (die Anzahl Stunden in einem durchschnittlichen Monat).

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Die Stammfunktion, die du bei der Berechnung des Integrals verwendest,

ist eine Stammfunktion von 2 • 0.905t , nicht von 2 • 0,905t  • t..

Ja, stimmt, sorry, war wohl schon etwas zu müde. Das richtige Integral ist:

0xf(t)dt=20.905tln(0.905)t=0x=20.905x2ln(0.905)= : F(x)\int_0^xf(t)\text dt=\left.\frac{2\cdot0.905^t}{\ln(0.905)}\right|_{t=0}^x=\frac{2\cdot0.905^x-2}{\ln(0.905)}=:F(x)

Diese Funktion ist eine exponentiell steigende Funktion, sie gibt die Menge des bereits abgebauten Stoffes wieder. Ihr Grenzwert gegen unendlich ist limnF(x)=2ln(0.905)20\lim_{n\rightarrow\infty}F(x)=-\frac2{\ln(0.905)}\approx20

Also suchst du bei c) dasjenige x, für das das Integral 10 ergibt und bei d) jenes, für das es 0.99*20=19.8 ergibt.

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Die Aufgabe hat mich in beträchtliche Irrungen und Wirrungen
gebracht.

Graph Abbaugeschwindigkeit

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f1(x) = 2·0,905xZoom: x(0…20) y(0…2)

Die Abbaugeschwindigkeit ist ein postiver Wert und
entspricht der 1.Ableitung der Konzentration.

Graph Konzentration ( in greife etwas vor )

Plotlux öffnen

f1(x) = 20,036·0,905x-0,036Zoom: x(0…20) y(0…20)

Unglücklichsterweise stimmt dies nicht.
Wie im Konzentrationsgraph zu sehen ist die Steigung negativ.
Die 1.Ableitung der Konzentration ist also

minus 2 * 0.905t
- 2 * 0.905t

Geht gleich weiter.

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Hier meine Berechnungen

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