Ableitungsfunktion von f(x)= 1/4 x^3 + x^2 + 3x falsch gebildet?

Question

ich habe eine Frage zur Ableitungsfunktionen. Und zwar geht es darum: eine Aufgabe in der Klausur war es , auszurechnen, wann der Graph mit der Funktion: 1/4 x³ + x² + 3x (genau weiß ich die Funktion nicht mehr) , wann der Graph den größten Abfall, also die minmalste Steigung besitzt. Dafür habe ich dann die Ableitungen gebildet:

f'(x)= 3/4 x² + 2x +3

f"(x) = 1,5x + 2

Hier meine Frage: wenn man jetzt die Nullstelle bei f" berechnet, kommt nur eine Nullstelle bei f"(x) raus. Aber müssten es nicht eigentlich mehrere sein, da ja es eigentlich in der ersten Ableitung(f') mehrere Punkte gibt, die eine Steigung von m=0 haben, da es ja auch einen Punkt von maximaler Steigung geben muss.

Oder habe ich die Ableitungsfunktion falsch berechnet ?

:)!

Answer 1

Du hast die Ableitungen richtig gebildet. Die erste Ableitung ist eine Parabel, die hat nur einen Extremwert, nämlich ein Minimum. Insofern ist es richtig, dass die zweite Ableitung nur eine Nullstelle ausspuckt. Die Annahme, dass es auch noch ein Stelle mit maximaler Steigung geben müsste ist nicht richtig. Diese Stelle gibt es nicht. Die maximale Steigung liegt bei der Ausgangsfunktion im unendlichen.

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So sehen die Kurven aus:

f(x): grün

f'(x): rot

f''(x): blau

Answer 2

Du hast eine Funktion f.
Du willst wissen wo die größte oder kleinste Steigung ist
Du bildest die 1.Ableitung = Steigungsfunktion.
Der höchste / niedrigste Wert  wird gesucht  und ist ein Extrempunkt der 1.Ableitung
2.Ableitung bilden und zu 0 setzen

f ( x ) = 1/4 x³ + x² + 3x
f'(x)= 3/4 x² + 2x +3
f"(x) = 1,5x + 2

1.5 * x + 2 = 0
x = - 2 / 1.5

In die 1.Ableitung eingesetzt ergibt sich die Steigung
f ´( -2 / 15 ) = 5 / 3
Es ist die geringste oder steilste Steigung.

Einfachste Antwort. : f ´( x ) ist eine nach oben geöffnete Parabel
f'(x)= 3/4 x² + 2x +3
Der Punkt ist eine also Tiefpunkt. Das Steigung 5 / 3 ist die geringste Steigung.

Oder
f'(x)= 3/4 x² + 2x +3  ( Parabel )
f"(x) = 1,5x + 2   ( Steigung )
f ´´´ ( x ) =  1.5
Positiver Wert = Linkskrümmung. Bedeutet einen Tiefpunkt.

Comments

IIch habe mir die Funktion gerade nochmal vor Augen geführt und bemerkt, dass die angegebene Funktion falsch war. Sie gingen mit einer positiven Steigung durch den Nullpunkt und hatte bei x=2 ihren Höhepunkt, dann sank sie wieder bis x=4 und y war dort gleich 0 und ab da stieg sie dann wieder. Aber auf jeden Fall war es eine Funktion mit x³ , also kommt in der zweiten Ableitung ja wieder nur eine Lösung. Woran liegt das ?

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Hmm, bißschen viel Spekulation. Wenn du die Original Funktion mal greifbar hättest, wäre das enorm hilfreich.

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f ( 0 ) = 0
f ´( 2 ) = 0
f ( 4 ) = 0 
f ´( 4 ) = 0  ( x = 4 wäre ein Berührpunkt )

Zur Beschreibung gibt es unendlich viele Funktion.

Stelle doch einmal die Orginalfrage ein .

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Das Problem ist, dass ich die Funktion leider nicht mehr genau kenne, war ja heute morgen im Unterricht. Sie war auf jeden Fall so aufgebaut, dass es aus x³ und x² und x bestand und in der Ausgangsfunktion zwei Nullpunkte bei 0 und 4 hatte, wobei 4 auch den Tiefpunkt der Funktion dargestellt hat. Der Höhepunkt lag zwischen 2 und 3. Nach dem Tiefpunkt bei 4 ist die Funktion wieder dauerhaft gestiegen.

Und wie kann es jetzt sein, dass es in der wiegen Ableitung nur eine Nullstelle gibt. Da muss es doch mehrere geben,  oder ? Zwischen 0 und dem Hochpunkt muss es doch auch noch einen Punkt maximaler Steigung geben?

Aber ich glaube, dass ich es jetzt sogar verstanden haben. Da die Funktion eigentlich nur unendlich positiv ist, nur zwischen dem Hochpunkt und dem zweiten Tiefpunkt negativ ist, ist die Steigung eine Parabel oder?

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Da du den Funktionswert des Hochpunkts nicht angeben kannst
gibt es unendlich viele mögluche Funktionen.

Im Hoch - und Tiefpunkt ist die Steigung 0.
Weniger an Steigung geht nicht.

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Ich bedanke mich für die Hilfe, ich habe es jetzt selbst verstanden;).