Summenzeichen Grenzwert der Partialsummen berechnen, falls er existiert.

Question

Ich soll bestimmen, ob die Folge $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { { n }^{ 3 } }{ 2{ n }^{ 4 }+k }  } $$ divergiert oder konvergiert... Durch ein wenig grübeln bin ich mir auf jeden Fall sicher, dass sie konvergiert.

Nur leider kann ich es nicht zeigen, meine Idee war, dass ich es mit einer Partilsumme versuche nur leider mcht die Folge mir schon den eindruck einer Partialsumme und wie das rückwärts geht weiß ich nicht.

Über hilfe wäre ich sehr dankbar :b

Answer 1

Ihr sollt vermutlich nur zeigen, dass die einzelnen Glieder der Reihe größer als

zur Konvergenz nötige Glieder der

Riemannsche Zeta-Funktion (siehe Wikipedia) oder

http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html

§12, sind, weil Exponent (bei Dir k^1) also Exponent 1 und Konvergenz erst oberhalb von 1.

Genauer geht es mit mit §27a

Dein n³ = a und 2n^4=b ergibt die partielle Summe:

sum a/(b+k),k=1...n = a*(+Digamma(1+b+n)-Digamma(b+1))

=n³*(Digamma(1+2n^4+n)-Digamma(2n^4+1))

lim Digamma(1+2n^4+n)-Digamma(2n^4+1) = 1/(2n³)-1/(8n^6)+Rest

lim n³*[1/(2n³)-1/(8n^6)]= 1/2

Answer 2

wenn wir deine Folge mal \(s_n\) nennen, dann ist für alle \(n \in \mathbb{N}\):

$$ \frac{n^4}{2n^4+n} \leq s_n \leq \frac{1}{2} $$

Gruß