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Wie müssen Grundkreisradius und Höhe gewählt werden, damit der Kegel maximales Volumen hat ?

S ("Mantellinie" ) 10 cm

Es folgt die Rechnung die ich vom Mathelehrer abgeschrieben habe, diese Verwirrt mich jedoch und ich bitte euch das ganze nochmal zu kontrollieren.

Hauptbedingung : V = π*r2*h / 3

Nebenbedingung : 10 = √r2*h2 -> 100 = r2*h2

ERSTE FRAGE: Stimmt das so mit der Nebenbedinung ? Wenn ich die Wurzel ziehe wäre das dann nicht r*h = 100 ?

Oder versteh ich das komplett falsch ?

Weiter gehts: -> daraus folgt r2 = 100/h2

Zielfunktion: V (h) = π*(100-h2)*h / 3

ZWEITE FRAGE: Wie bitteschön kommt der Lehrer jetzt auf 100 - h2 für r2 ?! Hieß es vorher nicht r2=100 / h2 ?

V'(h) = 100 π -3πh2

DRITTE FRAGE: Wurde jetzt die 3 im Nenner erinfach weggelassen ? Kann man das so immer machen ?

0 = -100π / 3π + h2

h = 5,77

VIERTE FRAGE: Wie bitte kommt man den jetzt auf "0 = -100π / 3π + h2" -.-

100 - (5,77)2 = r2

8,16 = r

Vmax = 403,32

FÜNFTE FRAGE: Hier wieder. Warum 100 - ( 5,77 )2 = r2. Ich dachte r2 = 100 / h2


Hab wohl leider doch mehr Probleme als gedacht- vorallem beim Umformen, vorallem wenn die Aufgabe vom Lehrer richtig ist, aber vielleicht ist die ja falsch und der Lehrer hat Mist gebaut.

Ich schreibe morgen eine Klausur über ( unter anderem ) diesem Thema.

Wenn ihr mir Übungen für das Umformen mit π und r und h blablabla geben könntet ( mit Lösungen ) wäre ich ebenfalls dankbar.

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Hallo

1.

Für die Mantellinie gilt nicht

10=r2h2 10=\sqrt{r^2 \cdot h^2}

sondern

10=r2+h2 10=\sqrt{r^2+h^2}

Das ergibt sich aus dem Satz des Pythagorags. Ich denke, das hast Du ggfs. falsch abgeschrieben. Das erklärt dann auch später

2.

r2=100h2 r^2 = 100-h^2

3.

Wie die Umformung der Zielfunktion V(h) zu V'(h) funktioniert, verstehe ich allerdings auch nicht. Richtig wäre:

V(h)=π(100h2)h13 V(h) = \pi \cdot (100-h^2) \cdot h \cdot \frac{1}{3}

V(h)=1003πhπh33 V(h) = \frac{100}{3} \pi h - \pi \frac{h^3}{3}

V(h)=1003ππh2 V'(h)= \frac{100}{3} \pi - \pi h^2

4.

V' wird hier gleich 0 gesetzt um den Extrempunkt zu ermitteln.

5.

Hier gilt wieder, dass Deine Annahme zur Mantellinie falsch ist.

Gruß

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Ich check das umformen von V(h) nicht und auch nicht wie du auf die Ableitung kommst :D Alter ist das hardcore.

Hast du mal gecheckt ob bei dir für h = 5,77 rauskommt ? ( Ist richtig ). Ich wollte das gerade für deine erste Ableitung ausprobieren,weiß allerdings nicht wie ich das für h =... umstelle :D ohje...

Das Umformen von V(h) habe ich gerade bei der anderen Antwort erläutert. Zum Ableiten stell Dir einfach vor oder ersetze einfach konkret jedes h durch ein x. Dann mit den gewohnten Regeln nach x ableiten.

V(x)=100π3xπ3x3 V(x) = \frac{100 \pi}{3} \cdot x - \frac{\pi }{3} x^3

V(x)=100π31x11π33x31 V'(x) = \frac{100 \pi}{3} \cdot 1 \cdot x^{1-1} - \frac{\pi }{3} \cdot 3 \cdot x^{3-1}

V(x)=100π3x0π33x2 V'(x) = \frac{100 \pi}{3} \cdot x^{0} - \frac{\pi \cdot 3}{3} \cdot x^2

V(x)=100π31π1x2 V'(x) = \frac{100 \pi}{3} \cdot 1 - \frac{\pi }{1} \cdot x^2

V(x)=100π3πx2 V'(x) = \frac{100 \pi}{3} - \pi x^2

Extremstelle V'(x)=0


0=100π3πx2 : π0=1003x2x2x2=1003x=±1003 \begin{aligned} 0 &=& \frac{100 \pi}{3} - \pi x^2 &&\qquad \vert : \pi \\ 0 &=& \frac{100}{3} - x^2 &&\qquad \vert -x^2 \\ x^2 &=& \frac{100}{3} &&\qquad \vert \sqrt{} \\ x &=& \pm \sqrt{\frac{100}{3}} \end{aligned}
Die negative Lösung ist nicht interessant, da die Höhe nicht negativ sein kann. Daher

x=h=1003=1035,77x=h= \sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,77
Gruß

Dankeschön für die ausführliche Erläuterung.

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NB: r2 + h2 = 100 --> r2 = 100 - h2

HB:

V = 1/3·pi·r2·h

V = 1/3·pi·(100 - h2)·h = 100·pi·h/3 - pi·h3/3

V' = 100·pi/3 - pi·h2 = 0 --> h = √(100/3) = 5.774

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ZWEITE FRAGE: Wie bitteschön kommt der Lehrer jetzt auf 100 h2 für r2 ?! Hieß es vorher nicht r2=100 / h2 ?

Der Satz des Pythagoras lautet a2 + b2 = c2

DRITTE FRAGE: Wurde jetzt die 3 im Nenner erinfach weggelassen ? Kann man das so immer machen ? 

Konstante Faktoren die die Gesamte Funktion betreffen, ändern nichts am Maximum oder Minimum und können weggelassen werden.

VIERTE FRAGE: Wie bitte kommt man den jetzt auf "0 = -100π / 3π + h2" -.-

Die Ableitung des Volumens gleich 0 setzen.

zur Dritten Frage:

Es ist korrekt, dass Faktoren, die die gesamte Funktion betreffen, nichts an den Extremstellen derselben ändern, aber hier steht V'(h)= ... und das entspricht so aber nun einmal nicht V', oder? Hinzu kommt, dass man dann auch das π direkt mit weglassen könnte.

Gruß

Danke für deine Erläuterung. Aber kannst du mir eins näher erklären ?

V = 1/3·pi·(100 - h2)·h = 100·pi·h/3 - pi·h3/3

Wie genau kommst du auf 100·pi·h/3 - pi·h3/3. Also in Einzelschritten. Kann ich nicht nachvollziehen.

Und wie genau leitest du ab ? Auch das kann ich nicht richtig nachvollziehen. Ich hab echt Schwierigkeiten bei sowas ._.

Du musst einfach ausmultiplizieren:

V=π3(100h2)h=π3h(100h2) V = \frac{\pi}{3} ( 100 - h^2) \cdot h = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( 100 - h^2)

=πh3(100h2)=100πh3πh3h2 = \frac{\pi h}{3}( 100 - h^2) = 100\cdot \frac{\pi h}{3} - \frac{\pi h}{3} \cdot h^2

=100πh3πhh23=100πh3πh33 = \frac{100\pi h}{3} - \frac{\pi h \cdot h^2}{3} = 100 \pi \cdot \frac{h}{3} - \pi \frac{h^3}{3}

Gruß

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Hier einmal die Berechnungen Schritt für Schritt

Bild Mathematik

Und noch der Radius

102 = r2 + h2
100 - 5.772 = r2
r = 8.17

mfg Georg

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