Kurvendiskussion: Aufwand verringern

Question

Hallo

schreibe in zwei Wochen eine Klausur über Analysis

zum Thema Kurvendiskussion: Wenn ich eine Gleichung 5ten Grades hab wie z.B. x^5-10x^3-20x^2-15x-4
(natürlich kann man hier auch nicht substituieren)

wie finde ich dort schnell die Nullstellen? Ich errate meist die Erste (hier: x0=-1). Und dann? Ich kann doch nicht 3 mal eine Polynomdivision machen (Zeitproblem in der Klausur) um auf x^2 zu kommen (darf ich die Polynomdivison eigentlich immer mit : (x+1) machen da die erste erratene Nullstelle ja -1 war? Oder brauch ich für jede neue Polynomdivision eine neue Nullstelle?)

Comments

hab jetzt mal die Polynomdivision bis zu x^2-3x-4 durchgezogen.

Durch pq-Formel erhält man dann x1=4; x2=-1... ist -1 dann eine doppelte Nullstelle eigentlich nicht oder? -1 wurde ja zuvor nur erraten. Lässt das Ergebnis der pq-Formel darauf schließen, dass es keine weiteren Nullstellen mehr gibt?

Answer 1

Hi, es gibt durchaus eine ganze Menge Tricks zur Optimierung des Rechenaufwandes. Hier würde mir einfallen, mal zu prüfen, ob \(x=-1\) auch Nullstelle der (ohnehin benötigten) Ableitungen ist. Man sieht hier leicht, dass \(f(-1)=f'(-1)=f''(-1)=f'''(-1)=0\) gilt, so dass diese Nullstelle mindestens vierfach ist.

Da weiter \(f''''(-1)\ne0\) ist, muss es noch eine weitere, einfache Nullstelle geben. Da das Produkt aller Absolutglieder der einzelnen Faktorpolynome aber immer das Absolutglied des Produktpolynoms ergeben muss, kann der noch fehlende Linearfaktor nur \((x-4)\) sein und die entsprechende Nullstelle heißt \(x=4\).

So kommt man hier auch ganz ohne Polynomdivision ans Ziel.

Answer 2

x²-3x-4 = ( x -4 ) * ( x + 1 )

Es gibt keinen Rest mehr

Nach den Polynomdivisionen ergibt sich
f ( x ) = ( x +1 ) ^4 * ( x -4 )

Die Nullstellen sind also
( -1 | 0 )
( 4 | 0 )

Oder brauch ich für jede neue Polynomdivision eine neue Nullstelle?)
Ja.

Eine Möglichkeit rasch zu einem Ergebnis zu kommen wüßte ich nicht.
Außer einem GTR-Taschenrechner ( Grafikfähig ).

Answer 3

Wenn du davon ausgehen kannst, dass die Nullstellen alle ganzzahlig sind, und zudem weisst, dass das Produkt aller Nullstellen betragsmässig 4 geben muss, kannst du mit raten allenfalls 4 und (-1) schon finden.

Polynomdivision direkt durch (x-4)(x+1).

Allenfalls einfach weiter raten, dass dann noch drei mal (-1) vorkommen muss, damit

(x-4)(x+1)^4 = x^5 ....... - 4 rauskommen kann.

Das ist natürlich etwas gewagt. Du weisst aber, dass sicher noch eine reelle Nullstelle vorhanden sein muss. Wegen der -4 am Schluss vielleicht (-1).

Polynomdivision direkt durch (x-4)(x+1)^2 .

Schau dir mal den Satz von Vieta noch an.