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Hallo ich habe folgende Aufgabe,

Bild Mathematik Ich habe mir überlegt : links und rechtsseitiger Grenzwert zu betrachten und die gleichsetzen. Da stetigkeit dann gilt wenn die beiden gleich sind .

limx1x3+2ax2+a2=limx1ax2+4a21+x2\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }^{ 3 } } +2a{ x }^{ 2 }\quad +{ a }^{ 2\quad }=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { ax }^{ 2 } } +\frac { 4{ a }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \quad

Das bringt mich dann auf das Ergebnis :

a=1±32a=\quad \frac { -1\pm \sqrt { 3 } }{ 2 }

könnte das so passen? Ich habe mir gedacht in der Stelle x=1 darf keine Sprung sein , der Rest ist stetig weil die 2 Fälle hier polynome sind .

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Ansatz ist gut, allerdings hast du dich bei der Lösung verrechnet.

a1,2=1±52 a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Die zweite Teilfunktion ist kein Polynom.

Gruß

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Hallo und danke habe den fehler beim rechnen schon gefunden , war ein Abschreibfehler ^^

Wenn die 2 Grenzwerte nun gleich sind bedeutet das stetig nur in dem Punkt x=1 ?

Ist die ganze Funktion stetig dann wenn ja warum? , oder muss ich das noch zeigen?

Ich denke ihr seid schon an dem Punkt angelangt, dass ihr wissen solltet, dass

1. Polynome auf ganz R\mathbb{R} stetig sind, also ist f(x)f(x) schon mal stetig für x<1x < 1.

2. Die Summe zweier Stetiger Funktionen sowie die Division unter bestimmten Voraussetzungen ebenfalls stetig ist (diese liegen hier alle vor ) also f(x)f(x) auch stetig für x>1x> 1.

Ist aa einer der beiden errechneten Werte, so liegt also auch Stetigkeit für x=1x=1 vor (das war ja die zentrale Aufgabe) und somit insgesamt stetig auf ganz R\mathbb{R} .

Jetzt weiß ich es Dankeschön!  :)

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