Integral substituieren (2-x)/((1+(x^1/2)) u=1+x^1/2

Question

wie integriere ich ∫(2-x)/(1+(x^1/2)), wenn u=1+x^1/2 bzw. u=1+√x     (laut Lösung)

∫(2-x)/(1+(x^1/2))

u´=1/2√x dx=du      
du/dx 1/(1/2√x)       du= 2√x

jetzt einsetzen

∫(2-x)/(1+(x^1/2)) *2√x

jetzt wird es kompliziert und ich weiß nicht mehr weiter?


die Lösung ist
Fx= (-2/3)x√x +x+2√x -2ln(1+√x)+c

Comments

Hallo mic,

1+(x¹/2) ist sicherlich

1 + x^{1/2}

mfg Georg

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Ja genau ich meine eigtl. X hoch 1/2 bzw. Wurzel x

Answer 1

Hallo mic,

∫ ( 2 - x ) / ( 1+ x^1/2  ) * dx    oder

∫ ( 2 - x ) / ( 1+ √x  ) * dx

Anstelle u nenne ich mal meine Substitutionsvariable z ( bin ich so gewöhnt )

a.) z = 1+ √x
z´ = 1/ ( 2 * √x ) = dz / dx
dx = ( 2 * √x ) * dz
von a.)
b.) √x = z - 1
dx = ( 2 * ( z - 1 )) * dz
von b.) x = ( z - 1 )^2

dx = ( 2 * ( z - 1 ) ) * dz
1+ √x = z
x = ( z - 1 )^2

∫ ( 2 - x ) / ( 1+ √x  ) * dx   wird zu

∫ ( 2 -  ( z - 1 )^2 ) /  z   *  2 * ( z - 1 )  * dz
2 * ∫ -z^2 + 3* z - 1 + 1/z ) * dz

Damit haben wir nur noch z in der Gleichung und können integrieren

- 2/3-z^3 + 3* z ^2 - 2 * z + 2 * ln(z) 

Jetzt muß noch rücksubstituiert werden z = 1 + √x

  mfg Georg

  Bitte selbst überprüfen und nachvollziehen.
  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

Comments

Danke für die Antwort. Jetzt muss ich mal nachfragen. Die erste subst. Ist klar 2wurzelx dz. Dann hast du umgestellt damit Wurzel x alleine da steht. Damit die Wurzel "sich entfernt"potenziert auf der anderen Seite damit x=(z-1)^2. Den einen Schritt davor verstehe ich nicht, warum steht 2(z-1)dz da? dx=2(z-1)dx ? Wie kommst du darauf? Nennt man die umformungen, welche du gemacht hast auch substituieren oder ist das eine spezielle Art mit einem best. Namen? Das ist neu für mich

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Hallo mic,

Zitat :
" Den einen Schritt davor verstehe ich nicht, warum steht 2(z-1)dz da? dx=2(z-1)dx ? Wie kommst du darauf? "

" dx=2(z-1)dx " steht da nicht .

Da steht :
dx = ( 2 * √x ) * dz
√x = z - 1
dx = ( 2 * ( z - 1 )) * dz

Substituieren heißt ersetzen. Alle " x " werden in " z " umgewandelt damit ein Term entsteht
der integriert werden kann. Ausgegangen wird von z = 1+ √x

Beim Kontrollieren meines Rechenwegs fiel mir allerdings ein Fehler auf.

- 2/3-z³ + 3* z ² - 2 * z + 2 * ln(z) ( anstelle - )

- 2/3*z³ + 3* z ² - 2 * z + 2 * ln(z) ( muß es mal heißen )

mfg Georg

  Sollte die Antwort nicht ausreichen dann wieder nachfragen.

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Oh ja stimmt 2(z-1)dz, habe ich sogar richtig abgeschrieben auf meinem Blatt. Mein Fehler. Achso ist 2(z-1) das substituierte (abgeleitete) von (z-1)^2 ? Und heißt deshalb dx=2(z-1)dz(du) wenn man es mit u bezeichnet?

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Hallo mic,

ich schreibe nunmehr hinter die Zeilen was ich mache

∫ ( 2 - x ) / ( 1+ √x  ) * dx   Ι Ausgangsterm, alles was " x " ist soll durch " z " ersetzt werden

z = 1+ √x  Ι die Variable z ersetzt den Term 1+ √x
z´ = 1/ ( 2 * √x ) = dz / dx Ι 1.Ableitung gebildet
dx = ( 2 * √x ) * dz Ι nach dx umgestellt

z = 1+ √x Ι wird umgestellt nach √x
√x = z - 1 Ι wird eingesetzt in dx
dx = ( 2 * ( z - 1 )) * dz

√x = z - 1 Ι wird quadriert
x = ( z - 1 )²

Damit haben wir 3 Substitutionen für " x "
dx      = ( 2 * ( z - 1 ) ) * dz
1+ √x = z
x = ( z - 1 )²

∫ ( 2 - x ) / ( 1+ √x  ) * dx   wird zu

∫ ( 2 -  ( z - 1 )² ) /  z   *  2 * ( z - 1 )  * dz
2 * ∫ -z² + 3* z - 1 + 1/z ) * dz

Damit haben wir nur noch z in der Gleichung und können integrieren

2 * [ z^3/3 + 3/2*z^2 - z + ln(z) ] Ι ausmultilpiizieren

- 2/3*z³ + 3* z ² - 2* z + 2* ln(z)

und jetzt nach rücksubstituieren mit z = 1+ √x

 mfg Georg

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Danke

darauf wäre ich nie gekommen.

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hallo mic,

  du willst die " höhere Mathematik " erlernen. Dazu gehört " Übungsaufgaben berechnen. " Diese werden dich mitunter in Ratlosigkeit und Verzweiflung treiben.

  Ich habe mir in den letzten Jahren die Differential- und Integralrechnung selbst beigebracht. Außerordentlich gut gewirkt hat das Anschauen und Nachrechnen bei www.abiturloesung.de.

  Dies sind die bayerischen Abituraufgaben der letzten Jahrzehnte mit Videos und Lösungen. Lösungen sind für Lernende sehr wichtig.

  mfg Georg

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oja da sind wirklich krasse dinger dabei