Aloha :)
Die Idee ist, dass du an der Stelle \(x_0=1\) eine Gerade an die Funktion \(y=f(x)=\sqrt{1+x^4}\) legst. Diese Gerade wird als Tangente \(t(x)\) realisiert. Das heißt, die Gerade \(t(x)\) berührt die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=x_0\). Diese Tangente kannst du allgemein wie folgt berechnen:
$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)$$
\(f(x_0)\) ist der \(y\)-Wert des oben erwähnten Berührpunkts. An diesem Punkt berechnen wir die Steigung der Funktion, also \(f'(x_0)\), und nehmen diese Steigung auch als die Steigung der Tangente \(t(x)\). Wenn wir uns nun vom Berührpunkt \(x_0\) ein Stück zur Position \(x\) hin entfernen, also auf der \(x\)-Achse den Weg \((x-x_0)\) zurücklegen, ändert sich der \(y\)-Wert der Tangente um \(f'(x_0)\cdot(x-x_0)\), weil ja \(f'(x_0)\) die Steigung angibt.
In deinem Fall hier ist \(x_0=1\) und damit:
$$f(1)=\sqrt{1+1^4}=\sqrt2$$$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x^4}}\cdot4x^3=\frac{2x^3}{\sqrt{1+x^4}}\quad\Rightarrow\quad f'(1)=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$$
Die gesuchte Linearisierung lautet also:
$$t(x)=\sqrt2+\sqrt2\cdot(x-1)=\sqrt2\cdot x$$
~plot~ sqrt(1+x^4);sqrt(2)*x; [[-2|2|-1|4]] ~plot~
