Grenzwert von an=n+n−n−n { a }_{ n }=\sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } }

Question

In der Musterlösung hieß es:

$${ \sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } } } = \frac { (\sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } }) *(\sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } ) }{ \sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } } =$$ und jetzt kommt der Punkt den ich nicht verstehe: $$\frac { n+\sqrt { n } -n+\sqrt { n } }{ \sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } }=\frac { 2\sqrt { n } }{ \sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } } =\frac { \sqrt { n } *(2) }{ \sqrt { n } *(\sqrt { 1+\frac { 1 }{ n } } +\sqrt { 1-\frac { 1 }{ n } } ) } \overset { n\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } 1.$$

Ich bekomme im Zähler für $(\sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } }) *(\sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } })$ nämlich nicht $n+\sqrt { n } -n+\sqrt { n }$ raus, sondern $n+\sqrt { n } -n-\sqrt { n }$; und dass ergibt 0.

Könnte mir jemand erklären, wie da $n+\sqrt { n } -n+\sqrt { n }$ raus kommt?

Denn (a-b)*(a+b) ist doch = a*a + ab - ab - b*b = a*a + 0 - b*b = a² - b², und in der Musterlösung hieß es auch, dass ${ a }^{ 2 }=n+\sqrt { n }$ und ${ b }^{ 2 }=n-\sqrt { n }$.

Answer 1

Hi,

Erstens
mit der dritten binomischen Formel
$$(a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2$$
folgt mit $a = \sqrt{n+\sqrt{n}}$ und $b = \sqrt{n-\sqrt{n}}$
$$a^2 = n + \sqrt{n}$$ und $$b^2 = n - \sqrt{n}$$
Also $a^2 - b^2 = (n + \sqrt{n}) - \left( n - \sqrt{n} \right) = 2 \sqrt{n}$

Zweitens
$$\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}} = \sqrt{n} \left( \sqrt{1+\frac{\sqrt{n}}{n}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{n}}{n}} \right)$$

Comments

Alles klar vielen Dank. Den zweiten Punkt hatte ich schon verstanden und den ersten Punkt habe ich jetzt dank den Klammern mehr verstanden.