Differenzialquotient (h-Methode) für f(x)=(1/x) ermitteln (x ungleich 0)

Question

ich habe Probleme damit die h-Methode an f(x) = (1/x) anzuwenden.

Ich will also lim_h->0 ((x0+h)-x0)/h herausbekommen.

Bei f(x) komme ich allerdings immer nur bis lim_h->0 (1/(x0*h+h²)) - (1/(x0*h)), weiß aber nicht wie ich weiter umformen kann, um letzendendes -x0^-2 herauszubekommen.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Grüße

Answer 1

> Ich will also lim_h->0 ((x0+h)-x0)/h herausbekommen.

Ich nehme an, du meinst   lim_h→0 $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ = lim_h->0  $\frac{1/(x_0+h)-1/x_0}{h}$   (#)

Es gilt:

$\frac{1/(x_0+h)-1/x_0}{h}$  = $\frac{1}{h}$ • ($\frac{1}{x_0+h}$+ $\frac{1}{x_0}$) = $\frac{1}{h}$ • $\frac{x_0-(x_0+h)}{x_0·(x_0+h)}$ = $\frac{1}{h}$  •  $\frac{-h}{x_0·(x_0+h)}$ = $\frac{-1}{x_0·(x_0+h)}$

→  (#) =  lim_h→0  $\frac{-1}{x_0·(x_0+h)}$ = $\frac{-1}{x_0^2}$

Gruß Wolfgang