Extremwertbestimmung bei Funktion mit mehreren Variablen: f(x,y)=sin(x^2 +y^3)

Question

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass im Punkt (0/0) die Funktion f(x,y)=sin(x^2+y^3) ein Minimum besitzt.

Dabei bin ich so vorgeganen, dass ich bis zur zweiten Ableitung jeweils partiell abgelitten habe, dann wollte ich das Kriterium:

fxx(xo,yo) * fyy(xo,yo) -fxy(xo,yo) < 0 -> dann Extrema

                                                       > 0 -> dann Sattelpunkt

Nun ist es aber bei mir so, dass am Ende rauskommt = 0. Handelt es sich dann noch um ein Extrema?

Hier mal meine partiellen Ableitungen:

fx = 2x cos(x^2+y^3)

fxx = 2 cos (x^2+y^3) -4x^2 sin (x^2+y^3)

fy= 3y^2 cos(x^2+y^3)

fyy= 6y cos(x^2+y^3) - 9y^4 sin(x^2+y^3)

fxy= -2x 3y sin(x^2+y^3)

 

Answer 1

Die Funktion f(x,y)=sin(x²+y³) hat bei (0,0) kein Minimum.

Das kann man sich auch leicht überlegen. Bei (0,0) wird der Funktionswert ja null. Geht jetzt y etwas in den negativen Bereich wird der Sin von einer negativen Zahl genommen und der ist kleiner als Null.

Hier eine Skizze der Funktion:

Comments

Danke für die schnelle Antwort,

das habe ich mir schon fast gedacht, nur dann verstehe ich nicht warum die Aufgabe so lautet:

Zeigen Sie, dass im Punkt (0/0) ein relatives Minimum vorliegt.

Dann ist die Frage wohl falsch gestellt worden, hätte wohl eher lauten müssen: Überprüfen Sie, ob...

---

Ja. Oder bei der Funktion war ein Tippfehler und es sollte sin(x²+y⁴) lauten. Aber was da genau schief gelaufen ist weiss man nicht. Nur das es so nicht hinkommt das wissen wir nun :)

---

Andere Möglichkeit (aber reine Spekulation): In der Fragestellung ist der Bereich, aus dem x und y stammen dürfen irgendwie eingeschränkt. Vielleicht darf ja y nicht negativ sein.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28%28x%5E2%29+%2B+%28y%5E3%29%29

---

Aber in diesem Punkt ist ja die Steigung null bzw. der Gradient verschwindet, dem zufolge müsste es sich dann doch um einen Sattelpunkt handeln, oder irre ich mich da?

Besten Dank im Voraus!