Zeigen Sie, dass es ein x im Intervall (a,b) gibt mit (x^2 +1)/(x-a) + (x^6 +1)/(x-b) = 0.

Question

ich habe beim Durchschauen eines Präsenzblattes bei dieser Aufgabe keine Ahnung wie man da rangehen sollte, ich habe schon versucht es gescheit umzuformen, aber bin zu nichts vernünftigem gekommen...
Vielleicht hat ja hier jemand eine gute Idee:

Seien $$a,b \in \mathbb{R}$$ mit $$a < b$$. Zeigen Sie, dass es ein $$x \in (a, b)$$ gibt mit $$ \frac {x^2 + 1} {x - a} + \frac {x^6 + 1} {x - b} = 0$$

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

zu einem Bruch machen gibt

((x^2 +1)(x-b) +(x^6+1)(x-a) )   /  (x-a)*(x+b)

und dann Polynomdivision gibt

x^5 ax^4 +a2x^3 +...   +  (a^6+1)/(x-a) + (b^2+1)/(x-b)

Und für x gegen a von rechts  hat der rote Summand den Grenzwert plus ∞

und alle anderen endliche Grenzwerte, also ist das Ganze in der Nähe von a

positiv.

Und für x gegen b von links  hat der grüne Summand den Grenzwert minus ∞

( wegen x < b )

und alle anderen endliche Grenzwerte, also ist das Ganze in der Nähe von b

negativ.  

Da zwischen a und b alles stetig ist und keine Definitionslücken vorliegen, gibt es dort

nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle.