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Bild Mathematik ich bräuchte hilfe für diese Funktion. Eine einfache Parametrisierung wäre ja [ x, 1-x2-9z2, z]. Ich bin mir bei den Grenzen ein wenig unischer. Meine Idee ist für x alle anderen gleich null zu setzen, also 0=1-x2 -> x=±1 also -1<=x<=1.

Für y stehen ja da schon die Grenzen, also 0<=y<=1. Für z bin ich mir jetzt nicht sicher.

Eine andere Parametrisierung wäre ja die Zylinderkoordinaten. Also erst umstellen : x2+9z2+y=1. 9z2 substituieren mit w2, also x2+w2+y=1. x=r*cos(phi), w= 3z=r*sin(phi) -> z=1/3*r*sin(phi). Einsetzen würde liefern r2+y=1, umstellen nach y, dann y=1-r2. Also hätten wir [r*cos(phi), 1-r2, 1/3*r*sin(phi)]. Die Grenze für phi wäre 0<= phi =<2π. Beim Radius bin ich mir nicht sicher.


Würde mich super freuen wenn mir jemand kann sagen welche Grenzen und warum ich sie bei den beiden Parametrisierungen benutzen muss.


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Die Frage wurde schonmal so gestellt, vielleicht hilft dir die dortige Antwort auch:

https://www.mathelounge.de/365618/paramaterisierung-einer-funktion-s-x-y-z-y-1-x-2-9z-2-0%E2%89%A4y%E2%89%A41

Ja, ist auch von mir :D nur geht es mir diesmal um die Grenzen

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Beste Antwort

Hi,

Ich würde mir kurz veranschaulichen was wir hier eigentlich haben. Dafür y = 0 und y = 1 einsetzen.

Für y = 1 haben wir x = 1 = z.

Für y = 0 haben wir 1 = x^2 + 9z^2 und damit ein Ellipse.

Das hast Du ja schon so aufgeschrieben, wie auch die passende Parametriesierung in Zylinderkoordinaten.

In der Tat hast Du für φ das von Dir angegebene Intervall. Für r nimm das Intervall zwischen 0 und 1. Die Halbachsen sind ja in der Parametrisierung selbst berücksichtigt. Sieh es also als Prozentangabe, falls das hilft :).


Grüße

Avatar von 140 k 🚀

Also beim Radius bin ich mir noch etwas unsicher. Nehmen wir einfach die Stelle mit dem größten Radius ? Also für y=0?

Und wie würde ich auf die Grenzen der ersten Parmetrisierung kommen?

Nochmals ^^

Okay nein ich habe das mit dem Radius jetzt verstanden. Also wir haben ja y=1-r2, und für y=0 ist r =1 und für y=1 ist r=0, also muss r zwischen 0 und 1 sein~

Aber bei der ersten Parametrisierung verstehe ich die Grenzen nicht...

Nein, das r sehe als Prozentsatz. Du schaust Dir den Radius zwischen 0 und 100 %. Der eigentliche Wert des Radius ist durch die Parametrisierung gegeben :).


Bei den kartesischen Koo...gehe von y aus. Dann haste die erste Koo nach x aufgelöst und die letzte nach z auflösen. Kommen aber Wurzeln rein etc. Intervall ist für y von 0 bis 1. Für die anderen beiden würde ich von 0 ausgehen bis zur Obergrenze, welches eine Funktion sein wird. Das wäre dann allerdings nur 1/4 des zu berechnenden Integrals. Da also aufpassen :).

Würde mich an die Zylinderkoo halten!

nochmals danke für die Antwort!

Ich kann dir leider nicht ganz folgen, was genau meinst du mit Prozentsatz? Bei z.B x^2+y^2=4, wäre der Radius ja Wurzel von 4 also 2, weil x^2+y^2=r^2. In diesem Beispiel wäre die Grenze 0<=r<=2. Wie genau würde es jetzt mit dem Prozentsatz funktionieren?

Und müsste ich nicht bei den kartesichen Koordiniaten irgendwas null setzen? Z B. Bei x^2 + y^2 + Z^2= 1 würde man für x alle anderen null setzen also, y=z=0 -> x^2=1 also -1<=x<=1. Für y setzen wir z=0, also X^2+y^2=1 -> y=Wurzel(1-x^2) usw..

Habe jetzt diese Beispiel kurz genannt um meine Vorgehensweise zu zeigen bzw. meine Denkweise :D

Ich Danke dir für die ganze Hilfe Bis jetzt ^^

Okay, ich glaube ich habe das mit dem Prozentsatz jetzt verstanden. Das wäre dann ja bei meinem Beispiel:

x2+y2=4 -> x2/4+y2/4=1 -> (x/2)2+(y/2)2=1. Dann wäre die Grenze 0<r<1 und der Radius wäre in der Parametrisierung enthalten oder?

Wie genau würde das jetzt in der Aufgabe ablaufen? An einfachen Beispielen verstehe ich das ja..

Zum Radius am Kreis:

Hier würdest Du doch die Parametrisierung (2cos(a),2sin(a)) wählen und damit ist der Radius r wieder von 0 bis 1, wobei der eigentliche Wert in der Parametrisierung steckt :). Hättest hier bspw aber auch die 2 nicht in die Parametrisierung stecken können und dann den Radius r von 0 bis 2 laufen lassen können. Ersteres ist aber üblicher und einfacher (letzteres wäre bei unserem Beispiel recht schwer, da abhängig).


Bleiben wir gerade mal am Kreis wegen den Grenzen. Da ists einfacher:

Wenn Du diesen kartesische beschreiben willst, so müsstest Du x^2+y^2 = 1 nach y auflösen um die Grenzen nach y zu beschreiben. y = ±√(1-x^2)

Damit hast Du Ober- und Untergrenze, wobei Du auch hier wieder (wie oben von mir schon getan) die Symmetrie nutzen kannst und die Untergrenze zu 0 wählen kannst, wenn Du das Integral ensprechend multiplizierst (je nach Wahl von x mit 2 oder 4).

Das x geht von -R bis R (oder eben von 0 bis R).

Das wäre in rein kartesischen Koordinaten, also (x,y).

Bei unserem Beispiel sind die Grenzen noch ein wenig komplizierter, aber das Verfahren das Gleiche :).


Alles klar?

Ehrlich gesagt nicht, uns wurde für x2+y2=4 das so beigebracht, in polar x=2*cos(phi), y=2*sin(phi) mit den Grenzen 0<phi<2π und 0<r<2,,,

Da musst Du dann was falsch aufgeschrieben haben?

Mit der von Dir gegebenen Parametrisierung hast Du folgendes Integral:

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \color{red}4\color{green}r\color{black} \;dr \;d\varphi = 4\pi$$

Dabei erhalten wir die 4 aus (2cos(x))^2 + (2sin(x))^2 = 4 und das r ist die Jacobi-Determinante.


Für den Fall einer einfachen Kreisparametrisierung -> x = cos(phi) und y = sin(phi) müssen wir den Radius in den Integralgrenzen berücksichtigen

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \color{green}r\color{black} \;dr \;d\varphi = 4\pi$$

Das r wieder wegen der Jacobi-Determinante


Dass das passt, können wir mit einfacher Geometriekenntnissen bestätigen. Ein Kreis mit dem Radius r = 2 hat den Flächeninhalt A = 4π :)

Es tut mir leid, das ist hier bestimmt ganz schön nervig, aber ich möchte es halt nur verstehen :/

Bei uns würde das integral auch so aussehen ∫0  ∫20 r dr dφ mit den parametrisierungen die ich genannt habe bzw. so sehen auch die Lösungen bei uns aus...

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Wie gesagt, da muss dann was falsch abgeschrieben worden sein. Das Integral bei Deinem Fall wäre nicht mehr einfach r. Sondern 4r. Dann aber die Grenze von r nur bis 1 :).

Siehe den Unterschied in der vorigen Antwort.

Bild Mathematik Hier ist  z.b. die Lösung einer Aufgabe die hochgeladen wurde. Parametrisiert wurde es mit r drinne und die Grenzen gehen von 0 bis a, wenn a z.b 5 ist, dann wäre es ja  0<r<5. Also wäre dieser Weg jetzt falsch? Oder kommt bei beiden Wegen das gleiche Ergebnis raus?

Wie gesagt, das kommt immer darauf an über was man intergriert. Integrierst Du über 1 (bzw. r wegen der Funktionaldeterminante), dann passt das mit der Integration von 0 bis a. Wenn Du aber nicht über 1 integrierst, sondern (nur auf den Kreis bezogen) über r, dann braucht r nur von 0 bis 1 zu gehen. Sind zwei Herangehensweisen :). Siehe dazu nochmals meine Beispiele weiter oben ;).

Lass Dich am besten nicht verwirren. Schau Dir an, wie ihr an die Sache rangeht und folge diesem Pfad.

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