Verständnisfrage zu Homomorphismus

Question

Ich habe eine Verständnisfrage zum Homomorphismus. Ich habe im Buch gelesen, dass ein Homomorphismus Hom(V, W) := { f:V -> W | f ist K-linear} wobei V,W K-Vektorräume sind, die Struktur eines Vektorraums hat. Aber ist  Hom(V, W) nicht die Menge aller Abbildungen die V linear auf W abbilden? In dieser Menge sind doch gar keine Vektoren drin. Ich hoffe jemand kann mir das kurz erklären.

Gruss

Answer 1

Aber ist  Hom(V, W) nicht die Menge aller Abbildungen die V linear auf W abbilden?   Jawohl !


In dieser Menge sind doch gar keine Vektoren drin.   Die "Vektoren" sind in diesem

Fall Abbildungen.   Es geht nur darum, dass die Menge   Hom(V, W)  zusammen mit

einer geeigneten Addition ( etwa  f+g  ist die Abbildung, die jedem x aus V das Element

f(x) + g(x)  in W zuordnet )  und Multiplikation mit reellen Zahlen  (etwa  c*f ist die Abbildung,

,die jedem x aus V das Element  c*f(x) in W zuordnet )  alle Axiome   eines Vektorraumes erfüllt. 

Schau mal dort  https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

 Und dem ist so.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich verstehe aber immer noch nicht wie denn diese "Vektoren" als Abbildungen aussehen sollen? Eine Abbildung ist ja z.B. f(x) = 2x. Die Abbildung selbst ist ja kein Vektor, sondern nur die Vorschrift was mit dem Vektor x in diesem Fall gemacht werden soll. Was währe denn hier z.B. in der Menge Hom(V, W) drin ? (wenn V und W 2 Vektorräume sind und x∈V, f(x)∈W)

Gruss

---

Die Abbildung selbst ist ja kein Vektorfalsch.  Vektoren sind Elemente von Vektorräumen.Du kennst wahrscheinlich überwiegend so Vektorräume

wie IR² und IR³ , bei denen die Vektoren als

Spalten mit 2 oder 3 oder mehr Zahlen drin auftreten.

Es gibt aber auch ganz andere Vektorräume ( etwa Funktionenräume)oder etwa die Menge der Polynome. 

Und da sind dann die Vektoren eben die Funktionen oder die

Polynome oder Whatever.

---

achso ok d.h. in diesem Fall beinhaltet die Menge Hom(V,W) alle Funktionen die Elemente von V linear nach W abbilden und diese Funktionen gelten als "Vektoren". Und die Struktur eines Vektorraums hat Hom(V,W) da auf dieser Menge die Addition und Skalarmultiplikation definiert sind als:

f+g: V -> W

v ↦ f(v) + g(v)

und:

λf: V -> W

v ↦ λ * f(v)

hab ich das so richtig verstanden?

---

Genau so ist es.  Und mit Fleiß könntest du jetzt

prüfen, ob tatsächlich alle Vektorraumaxiome für dieses

Gebilde erfüllt sind.  Es zeigt sich:

Das ist so.