e-Funktionen: Schnittpunkte und Extrema bestimmen

Question

Hallo ich brauche unbedingt die dazu ausgerechneten aufgaben benötige nämlich hilfe :-( kann mir jemand die Nr. 1.1 und 1.2 berechnen? Wäre toll

Comments

Ich weiß mir nicht mehr zu helfen bitte..

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Ich glaube du musst noch das Bild anhängen ;).

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Stimmt :D tut mir leid

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Wo sind denn die Gleichungen zu den Graphen?

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Bin heute echt verpeilt..

Answer 1

Hallo (keine Panik),

1.1) Schnittpunkte bestimmt man durch Gleichsetzen der Funktionen. Hier $$f(x)=g(x)=(x+1)^2 \cdot e^{-x} = 2(x+1)\cdot e^{-x}$$ teile die Gleichung durch $e^{-x}$. Da dies nie zu 0 wird, braucht man auch keine Fallunterscheideung zu machen. $$(x+1)^2=2(x+1)$$ Hier können wir jetzt zwei Fälle unterscheiden.

Erster Fall $x+1 =0$. Dann ist $x_1=-1$. Das ist der Schnittpunkt, der auf der Abbildung zu sehen ist.

Zweiter Fall $x+1 \neq 0$. Dann kann man durch $x+1$ teilen und erhält $x+1=2$ bzw. $x=1$. Dies wäre dann der zweite Schnittpunkt.

Zur Berechnung der Extrempunkte von f gilt es, die Ableitung zu bestimmen. Nach der Produktregel und der Kettenregel ist $$f^{\prime}(x)=2(x+1)\cdot e^{-x} + (x+1)^2 \cdot (-1) \cdot e^{-x}$$ $$=(2x+2-x^2-2x-1)\cdot e^{-x}=(1-x^2)\cdot e^{-x}$$ diese Funktion wird nur dann zu 0, wenn $1-x^2$ zu 0 wird. Also sind die beiden Kandidaten für die Extremstellen $x_{1,2}=\pm1$. Um die Art der Extremstellen zu klären, muss auch die zweite Ableitung berechnet werden. $$f^{\prime \prime}(x)=-2x\cdot e^{-x}+(1-x^2)\cdot(-1)\cdot e^{-x}=(-2x-1+x^2)\cdot e^{-x}$$Da $e^{-x}$ immer größer als 0 ist, braucht man hier nur den Term $-2x-1+x^2$ zu betrachten. Es ist $f^{\prime \prime}(x_1=-1)=2\cdot e^{-1} \gt 0$. demnach liegt bei $x_1$ ein Minimum vor. Und $f^{\prime \prime}(x_2=1)=-2\cdot e^{-1} \lt0$ - also ein Maximum bei $x_2$.

1.2) Das Verhalten, wenn x gegen Unendlich geht.

Bei $f(x)$ liegt der Extremwert mit dem höchsten x-Wert bei 1. Dieses Extremum ist ein Maximum und danach geht es stets bergab - d.h. die Funktion ist ab hier monoton fallend. Gleichzeitig wird ihr Wert aber nie negativ. Es ist also wahrscheinlich, dass sich $f(x)$ asymptotisch der X-Achse annähert. Berechne ein paar Werte von $f(x)$ für x=10, x=100 und x=1000.

Zur Abschätzung von $g(x)$ bestimme ich zunächst die Ableitung $$g^{\prime}(x)=2\cdot e^{-x} + 2(x+1)\cdot(-1)\cdot e^{-x}=-2x\cdot e^{-x}$$Für $x\gt0$ ist $g(x)$ immer kleiner 0. D.h. auch diese Funktion ist für große x monoton fallend und ihr Wert bleibt genau wie bei $f(x)$ immer größer 0 solange $x\gt0$ ist. Hier gilt das gleiche wie für $f(x)$.

Gruß Werner

Comments

Super gute Antwort & dazu ist sie so verständlich !!! Ich danke dir so sehr , das ganze wäre 10 Sterne wert :-)