Gegeben ist die quadratische funktion f(x)=-x^2-5x-2,5

Question

Bestimme den scheitelpunkt der folgenden parabel f(x)=-x^2-5x-2,5. Liegt ein minimum oder ein maximum vor?

Answer 1

f(x) = - x^2 - 5·x - 2.5

f(x) = - (x^2 + 5·x) - 2.5

f(x) = - (x^2 + 5·x + 2.5^2 - 2.5^2) - 2.5

f(x) = - (x^2 + 5·x + 2.5^2) - 2.5 + 2.5^2

f(x) = - (x + 2.5)^2 - 2.5 + 2.5^2

f(x) = - (x + 2.5)^2 + 3.75

S(-2.5 | 3.75) Der Scheitelpunkt ist das Maximum weil die Parabel nach unten geöffnet ist.

Answer 2

f(x) = y = -x²- 5x - 2,5.

- 1 teilweise ausklammern:

y = (-1) · [ x² + 5x ]  -  2,5 

quadratisch ergänzen  [ + (halber Faktor bei x)² und gleich wieder "aufheben" ] : 

y =  (-1)  · [ x² + 5x + (5/2)² -  25/4 ]  - 2,5

2.binomische Formel:

y = (-1) · [ (x + 5/2 )²  - 25/4 ]  - 2,5

[...] ausmultiplizieren:

y = - (x + 5/2 )²  + 25/ 4  - 2,5                      - 15/16

y =  - (x + 5/2 )²  + 15/4        ;   S( - 5/2 | 15/4)

Da die Parabel nach unten geöffnet ist  ( Minuszeichen bei x² ),  liegt bei S ein Maximum vor.

Gruß Wolfgang