Gegeben ist die quadratische funktion f(x)=-x2-5x-2,5

Question

Bestimme den scheitelpunkt der folgenden parabel f(x)=-x²-5x-2,5. Liegt ein minimum oder ein maximum vor?

Answer 1

f(x) = - x² - 5·x - 2.5

f(x) = - (x² + 5·x) - 2.5

f(x) = - (x² + 5·x + 2.5² - 2.5²) - 2.5

f(x) = - (x² + 5·x + 2.5²) - 2.5 + 2.5²

f(x) = - (x + 2.5)² - 2.5 + 2.5²

f(x) = - (x + 2.5)² + 3.75

S(-2.5 | 3.75) Der Scheitelpunkt ist das Maximum weil die Parabel nach unten geöffnet ist.

Answer 2

f(x) = y = -x²- 5x - 2,5.

- 1 teilweise ausklammern:

y = (-1) · [ x² + 5x ]  -  2,5 

quadratisch ergänzen  [ + (halber Faktor bei x)² und gleich wieder "aufheben" ] : 

y =  (-1)  · [ x² + 5x + (5/2)² -  25/4 ]  - 2,5

2.binomische Formel:

y = (-1) · [ (x + 5/2 )²  - 25/4 ]  - 2,5

[...] ausmultiplizieren:

y = - (x + 5/2 )²  + 25/ 4  - 2,5                      - 15/16

y =  - (x + 5/2 )²  + 15/4        ;   S( - 5/2 | 15/4)

Da die Parabel nach unten geöffnet ist  ( Minuszeichen bei x² ),  liegt bei S ein Maximum vor.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Parabel $y=-x^2-5x-2,5$.

$y=(-1)\cdot x^2-5x-2,5 |:(-1)$

$\frac{y}{-1}=x^2+5x+2,5 |-2,5$

$\frac{y}{-1}-2,5=x^2+5x$   quadratische Ergänzung:

$\frac{y}{-1}-2,5+(\frac{5}{2})^2=x^2+5x+(\frac{5}{2})^2$  1.Binom:

$\frac{y}{-1}+3,75=(x+\frac{5}{2})^2 |-3,75$

$\frac{y}{-1}+3,75=(x+\frac{5}{2})^2 |-3,75$

$\frac{y}{-1}=(x+\frac{5}{2})^2 -3,75 |\cdot(-1)$

$y=-(x+2,5)^2 +3,75$

S$(-2,5|3,75)$

Liegt ein Minimum oder ein Maximum vor?

Ich bestimme eventuelle Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden $y=4$.

$4=-(x+2,5)^2 +3,75$

$4=-(x+2,5)^2 +3,75$

$(x+2,5)^2=-4 +3,75=-0,25=0,25i^2|±\sqrt{~~}$

1.)

$x+2,5=0,5i$

$x_1=-2,5+0,5i$

2.)

$x+2,5=-0,5i$

$x_2=-2,5-0,5i$

Das sind keine Lösungen ∈ℝ

Es gibt damit keine Schnittpunkte.

$4>3,75)$
Damit Maximum bei  S$(-2,5|3,75)$

Comments

Ich bestimme eventuelle Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden $y=4$.

Warum genau tust du das?

$x_1=2,5+0,5i$

Das ist falsch.

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Man kann auch einfach sehen, dass es ein Maximum ist, weil die Parabel nach unten geöffnet ist.

Ich bestimme eventuelle Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden $y=4$.

Das würde keiner machen und elegant ist das auch nicht!

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@Gast az0815

Danke, da habe ich mich verschrieben.

Warum genau tust du das?

Es wäre auch möglich gewesen, eine Gerade unterhalb des Scheitelpunktes zu wählen. Dann hätte es immer 2 Lösungen ∈ ℝ gegeben.

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Es bleibt die Frage nach dem Warum!

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Es bleibt die Frage nach dem Warum!

Damit zeige ich, dass der Scheitelpunkt wirklich das Maximum ist.

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Tust du nicht. Denn es könnte ja auch bei 3,8 liegen.

Answer 4

Hallo.

Der Scheitelpunkt ist das absolute Extremum der quadratischen Funktion, also entweder das Maximum oder das Minimum. Wenn die quadratische Funktion nach unten geöffnet ist, hat es demnach ein Maximum und wenn es nach oben geöffnet ist, ein Minumum. Absolute Extrema berechnest du mithilfe der ersten Ableitung, indem du davon die Nullstellen findest, da das dann deine möglichen Extrema sind. Mit der zweiten Ableitung prüfst du dann, um was für ein Extremum es sich handelt. Ist die zweite Ableitung bei deinem Extremum negativ, so ist dieses Extremum ein Maximum. Ist es jedoch positiv, so ist das Extremum ein Minimum.

Sei f(x) = ax² + bx + c eine quadratische Funktion. Dann ist die Ableitung f‘(x) = 2ax+b. Diese wird 0 für x = -b/2a. Also liegt bei x = -b/a unser möglicher Extrema. Die zweite Ableitung ist dann immer die konstante Funktion f‘‘(x) = 2a. Je nach dem wie a gewählt wird, ist diese positiv oder negativ. Wenn a < 0 ist, so ist f‘‘(x) < 0 und bei x = -b/a ist ein Maximum und wenn a > 0 ist, so ist f‘‘(x) > 0 und bei x = -b/a ist ein Minimum.

Also kurz zusammengefasst:

Der Punkt (-b/a, f(-b/a)) ist der Extrempunkt (also auch der Scheitelpunkt) von f und es gilt:

(-b/a,f(-b/a)) ist ein Maximalpunkt, wenn a < 0 ist

(-b/a,f(-b/a)) ist ein Minimalpunkt, wenn a > 0 ist.

Ich habe es jetzt bei einer allgemeinen quadratische Funktion gemacht. Du kannst es ja dann entsprechend auf Dein Beispiel anwenden…

Comments

Die Antwort ist möglicherweise nicht zielführend, da Parabeln vor der Differentialrechnung behandelt werden.

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Das stimmt. Ich dachte er kennt das, da er ja auch von Maximum und Minimum sprach.

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Die Anredeform

Bestimme den ...

lässt auf Mittelstufenmathematik schließen.

Aber gut, fast acht Jahre später kann sich das natürlich geändert haben.