Ich hätte gern alle fehler gewusst da ich mir bei der aufgabe nicht sicher bin. danke für die mühe
$$ Sei\quad n\quad \in \quad N\quad .\quad Die\quad Funktion\quad f\quad :\quad [a,\quad b]\quad \rightarrow \quad R\quad sei\quad n-mal\quad differnezierbar.\\ Seien\quad { x }_{ 1 }\quad ,\quad ...\quad ,\quad { x }_{ n\quad +\quad 1 }\quad \in \quad [a,\quad b]\quad mit\quad { x }_{ 1 }\quad <\quad ...\quad <\quad { x }_{ n\quad +\quad 1 }\quad und\quad f({ x }_{ i })\quad =\quad 0\\ für\quad alle\quad 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n\quad +\quad 1.\\ Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad es\quad ein\quad { x }_{ 0 }\quad \in \quad (a,\quad b)\quad gibt,\quad so\quad dass\quad { f }^{ (n) }({ x }_{ 0 })\quad =\quad 0\quad ist.\\ \\ \\ Die\quad Funktion\quad f\quad hat\quad n+1\quad Nullstellen.\quad Nach\quad dem\quad Satz\quad von\quad Rolle\quad existieren\quad \\ in\quad f'\quad (n+1)-1\quad Nullstellen,\quad da\quad zwischen\quad zwei\quad Nullstellen\quad sich\quad eine\quad Nullstelle\quad \\ der\quad Ableitung\quad befindet.\\ \\ \\ Induktionsbeweis:\\ \\ f\quad habe\quad n+1\quad Nullstellen\\ für\quad k\quad \le \quad n\quad habe\quad { f }^{ (k) }\quad (n+1)-k\quad Nullstellen\quad nach\quad dem\quad Satz\quad von\quad Rolle\\ Induktion\quad nach\quad k\quad dies\quad soll\quad gelten\quad für\quad alle\quad k\quad \le \quad n:\\ \\ Induktionsanfang:\quad \\ k=1\\ \\ { f }^{ (1) }\quad hat\quad (n+1)-1\quad Nullstellen\quad \\ \\ Induktionsvoraussetzung:\\ für\quad \exists \quad k\quad \in \quad N\quad gilt:\\ { f }^{ (k) }\quad hat\quad (n+1)-k\quad Nullstellen\\ \\ Induktionsbehauptung:\\ { f }^{ (k+1) }\quad hat\quad (n+1)-(k+1)\quad Nullstellen\\ \\ Induktionsschritt:\\ { f }^{ (k+1) }\quad =\quad { { (f }^{ (k) } })^{ (1) }\\ IV\rightarrow \quad { f }^{ (k) }\quad hat\quad (n+1)-k\quad Nullstellen\quad ,\quad { f }^{ (1) }\quad hat\quad (n+1)-1\\ \rightarrow \quad { { (f }^{ (k) } })^{ (1) }\quad hat\quad (n+1)-(k+1)\quad Nullstellen\quad was\quad zu\quad beweisen\quad war.\\ \\ \\ \\ So\quad hat\quad { f }^{ (n-1) }\quad (n+1)-(n-1)\quad 2\quad Nullstellen.\quad Da\quad f\quad aber\quad n-mal\quad differenzierbar\quad ist,\\ existiert\quad auch\quad { f }^{ (n) }\quad und\quad { f }^{ (n) }\quad hat\quad folglich\quad 1\quad Nullstelle:\\ \\ Dazu\quad ist\quad { f }^{ (n-1) }(a)\quad =\quad { f }^{ (n-1) }(b)\quad da\quad { f }^{ (n-1) }\quad zwei\quad Nullstellen\quad hat,\quad und\quad nach\quad dem\quad Satz\quad von\quad Rolle\\ gibt\quad es\quad ein\quad { x }_{ 0 }\quad \in \quad (a,\quad b)\quad in\quad dem\quad { f }^{ (n) }({ x }_{ 0 })\quad =\quad 0\quad ist.$$
