Ableitung - Technische Anwendung Leiter Beispiel

Question

Servus Leute,

ich hätte da mal eine Frage zum Thema Ableitungen.

Aufgabe:

Eine Stange von 6m Länge lehnt an einer Wand. Der Fußpunkt A der Stange wird mit einer

Geschwindigkeit von 0,5m/s  weggezogen. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das obere Stangenende

nach unten, wenn der Punkt A den Abstand 3m von der Wand besitzt?

Ich habs mal ohne Ableitungen gerechnet ( also mit v= s/t) und bin auf ca. 0,32m/s gekommen.

jetzt weiß ich aber nicht wie man bei der Ableitung vorgeht.

könntet ihr mir da bitte helfen ( Formel, nach was muss ich ableiten, wie komm ich drauf)

Ciao Rellis

Comments

Rechne mal vor, wie du auf 0,32m/sec gekommen bist.

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Hm. Mag sein dass ich hier einen Denkfehler habe. Ich komme nur in etwa auf deinen Wert.

x² + y² = 6 --> y = √(36 - x²)

y = √(36 - x²)

Alternative 1

y' = -x/√(36 - x²)

y'(3) = -3/√(36 - 3²) = -0.5774

Das wäre die Geschwindigkeit, wenn sich x um 1 pro Zeiteinheit erhöht. Gesucht ist also die Halbe Geschwindigkeit

-0.5774 / 2 = -0.2887

Alternative 2

y = √(36 - (3 + 0.5·t)²) = √(- t² - 12·(t - 9))/2

y' = -(t + 6)/(2·√(- t² - 12·(t - 9)))

y'(0) = -(0 + 6)/(2·√(- 0² - 12·(0 - 9))) = -0.2887

Weil nach der Geschwindigkeit gefragt ist, ist hier nur der Betrag anzugeben. Das minus steht für eine Bewegung in negative y-Achsenrichtung.

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Fülltext.....

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Die Lösung vom Mathecoach halte ich für richtig (hab das Gleiche heraus).

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Danke, danke, da hab ich mich verrechnet.

hatte aber die selben Ansätze wie ihr

:-)

Answer 1

Hallo Rellis,

Eine Möglichkeit besteht darin, die Längenänderung der Leiter zu bestimmen, natürlich unter Ausnutzung der Tatsache, dass diese =0 ist. Ist der Abstand des Fußpunkts A von der senkrechten Wand gleich a und die Höhe des oberen Endes der Leiter an der senkrechten Wand gleich b so ist die Länge l der Leiter entsprechend $$l =\sqrt{a^2+b^2}$$ und die Längenänderung der Leiter in Abhängigkeit der Längenänderung $\dot a$ von a wäre dann $$\dot l( \dot a) = \frac{2a \cdot \dot a}{2\sqrt{a^2+b^2}}$$ da die Länge l der Leiter sich nicht verändert, muss diese durch die Längenänderung $\dot b$ von b aufgehoben werden - also gilt $$\dot l = \frac{a \cdot \dot a}{\sqrt{a^2+b^2}}- \frac{b \cdot \dot b}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$$ $$\dot b=\frac{-a}{b}\dot a \approx -0,2887 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, es direkt zu berechnen. Dazu betrachte ich den Übergang von $\Delta t \Rightarrow 0$ von $$\lim_{\Delta t \Rightarrow 0} \frac{b(t+ \Delta t) - b(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \Rightarrow 0} \frac{\sqrt{l^2-(a + \dot a \cdot \Delta t)^2}- b(t)}{\Delta t}$$ Das Erweitern des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck des Zählers $\sqrt{l^2-(a + \dot a \cdot \Delta t)^2}+ b(t)$ ergibt $$\lim_{\Delta t \Rightarrow 0} \frac{l^2 - a^2 - 2a \dot a \cdot \Delta t - {\dot a}^2 {\Delta t}^2 - b^2(t)}{\Delta t \cdot \left( \sqrt{l^2-(a + \dot a \cdot \Delta t)^2}+ b(t) \right) } = \lim_{\Delta t \Rightarrow 0} \frac{-2a \dot a - {\dot a}^2 \cdot \Delta t}{ \sqrt{l^2-(a + \dot a \cdot \Delta t)^2}+ b(t)}=\frac{-a}{b(t)}\dot a$$ ... und $b(t)$ zum Zeitpunkt t ist natürlich b (s.o.).

Gruß Werner

Answer 2

Über den Pythagoras ergibt sich der Zusammenhang

6² = x ² + y²
y = √ ( 36² - x² )
alles in Meter

Die x-Position kann auch geschrieben werden als
x = v(x) * t
y = √ ( 36² - ( v(x) * t) )² ) )

Davon die erste Ableitung nach t bilden und dann für
t = 3 m / 0.5 m/s = 6 sec einsetzen
y ´ ( 6  ) = -0.289 m/s

Der Graph zeigt den Zusammenhang

Es empfiehlt sich
y ´ ( 6  ) = 0.289 m/s
anzugeben.