Affine Abbildung 27. Koordinatentransformationen.

Question

Brauche auch hier zu hilfe und bitte ausführlich ;)

Vielen Vielen Dank

Immai

Answer 1

Hallo immai,

Ich gehe davon aus, dass Du die Aufgabenteile (a), (b) und (c) allein hin bekommst - spätestens nach diesem Bild sollte es klar sein.

Aus dem Bild oben kann man unmittelbar die Koordinaten von $P$ bezogen auf $F$ und $G$ heraus lesen.

$$_FP=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix} \quad _GP=\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}$$

(d) Ich weiß nicht wirklich, welche Schreibweise für die Koordinatentransformationen $_Ek_F$ und $_Ek_G$ erwartet wird. ich nehme aber an, Ihr gebt die Rotationsmatrix $A$ und die Verschiebung $t$ an. Homogene Koordinaten habe ich (leider) in Deinen Unterlagen nicht gesehen.

In diesem Fall kann man es einfach abschreiben:

$$_Ek_F: \quad _Ex = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \cdot _Fx + \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}$$

$$_Ek_G: \quad _Ex = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot _Gx + \begin{pmatrix} -1 \\ -1\end{pmatrix}$$

geht noch weiter ....

Comments

vielen vielen dank schon mal^^

habs noch nicht ganz durch gelesen.

habe ich in der zeit mit eigenvektoren versucht schlau zu machen und zu lernen.

falls du mal nachher reinsehen willst.^^

https://www.mathelounge.de/416097/aufgabe-abbildungen-reichen-eigenv…

Hoffentlich packe ich das alles ^^

nur noch 16/24 std. mathe ist grad bei angesagt. ausser 8std nix anderes^^

ich kann dir auch nicht genug danken^^

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Oh - Mist ich kann die Antwort nicht mehr ändern - und es sind noch Fehler drin!

Bei $F$ habe ich die Koordinaten vertauscht. Ich mache den Rest über Kommentare!

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Korrektur zum Bild:

und die (hoffentlich) richtigen Koordinaten sind:
$$_FP=\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix} \quad _GP=\begin{pmatrix} 6\\ 2\end{pmatrix}$$

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Entschuldige das Durcheinander, aber ich wollte Dir schon mal einen Teil der Antwort zukommen lassen. Das war wohl ein Fehler. :-(

(e) $_Fk_E$ und $_Gk_E$ berechnen sich wie folgt: Die Rotationsmatrix wird invertiert und die Verschiebung ergibt sich aus der Invertierten Rotationsmatrix mal die negative ursprüngliche Verschiebung. In Formeln:
$$_Ak_B: \quad _Ax= A \cdot _Bx + t$$ $$_Bk_A: \quad _Bx= A^{-1} \cdot _Ax - A^{-1} \cdot t$$ damit erhält man:
$$_Fk_E: \quad _Fx = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\\ 0,5 & -0,5\end{pmatrix} \cdot _Ex$$ angewendet auf $P$
$$_FP= \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\\ 0,5 & -0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}$$ stimmt also mit dem 'Herauslesen' überein
$$_Gk_E: \quad _Gx = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot _Ex + \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$$ angewendet auf $P$
$$_GP = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}$$ passt also auch.

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(f) $_Gk_F$ ist die Kombination von $_Gk_E$ und $_Ek_F$. Mit homogenen Koordinaten wäre das jetzt total 'easy', aber ich versuche es mal, es mit $A$ und $t$ ausführlich  hin zu schreiben:
$$_Gk_F: \quad _Gx = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot { _Ex} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} { _Fx} \right) + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ da in $_Gk_E$ eine Einheitsmatrix steht und in $_Ek_F$ die Verschiebung =0 ist, wird es ziemlich einfach $$_Gk_F: \quad _Gx = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} { _Fx} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ zur Kontrolle setze ich mal $_FP$ ein:
$$_GP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$$ .. scheint zu stimmen (s.o.).
Gruß Werner

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ich bin das ganze nochmal durch gegangen.

die zeichnung schicke ich mit. da hab ich aber glaub mit der G was falsch gemacht.

Vielen Dank war eine sehr grosse Hilfe

immai

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Hier meine zeichnung.