Analysis: Abituraufgabe 2014 Standartatmosphäre

Question

für meine Abiturprüfung habe ich die alten Klausuren (hier Mathe LK 2014) durchgerechnet, verstehe aber leider den Rechenweg in dieser Lösung nicht.

Meine Aufgabe ist es, unter Verwendung von und

( h = Höhe, t = Zeit, ϑ = Temperatur) herauszufinden, nach welcher Zeit die niedrigste Temperatur gemessen wird.

Könnte mir jemand erklären wie man das macht?

Lösung:

Answer 1

Bestimmung eines Minimums geht ja klassisch mit Ableitung = 0.

Da hier aber die Temperatur (ich nehme mal f  statt griechisch ) und h und nicht von

der Zeit t abhängt, musst  du f ' ( h(t) ) bilden, also die Verkettung.

Das ist = 0 , wenn t = 15, 98 ist ( mit CAS gerechnet ).

Zur Kontrolle, ob wirklich ein Minimum vorliegt noch

f ' ' (t) bilden, ist positiv, also bei   t = 15, 98  ein Min.

Answer 2

Von beiden Aussagen wurde nur beispielhaft der erste
Term verwendet.

Du ersetzt also im 1.Term das h durch h ( t ) im 2.Term.
und erhältst die Temperatur ( t )  als Funktion der Zeit.
Dann die 1.Ableitung bilden, zu null setzen und das
Minimum bestimmen.

Am besten mit GTR oder CAS.

mfg Georg

Answer 3

Es steht doch schon alles da, was du tun sollst. Leite ϑ₂(h) ab und wähle diejenige Nullstelle, für die gilt 11≤h≤20. Setze diese mit h(t) gleich und bestimme die Lösungen für t. Es gibt 3 Lösungen t₁, t₂ und t₃, von denen eine t₁≈15,98 ist. ϑ₂''(h(t₁))>0.  ϑ₂''(h(t₂))<0 und  ϑ₂''(h(t₃))<0. Nur für t₁ ergibt sich ein lokales Minimum. Setze die Ränder 11 oder 20 ein (oder schau dir den Graphen an). Dann siehst du, dass Randextrema nicht vorkommen.

Mathematisch gesehen ist das höchstens Grundkursniveau.