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Im Dreieck ABC ist der Winkel ACB=60 Grat und der Winkel BAC=90 Grat. Der Punkt D auf der Strecke AB ist so gewählt, dass die Strecke CD den Winkel ACB halbiert. Zeige/Beweise, dass AD=0,5 DB ist.

LG ;)Bild Mathematik

von

Habt ihr schon Trigonometrie /
Winkelfunktion ( tan ) im Unterricht gehabt ?

Vom Duplikat:

Titel: Trigonometrie/ Winkelfunktion (tan)

Stichworte: trigonometrie,winkelfunktionen

Hallo.

Ich habe schonmal eine Frage bezüglich eines Dreiecks gestellt, wie man beweisen kann, dass AD=0.5 DB ist und ihr habt etwas mit Trigonometrie geschrieben. Und da wollte ich fragen, ob ihr mir erklären könnt, was das ist, wofür man das braucht und warum als Ergebnis bei AB/AD= tan 60/tan 30  3 herauskommt.  Wenn man 60:30 rechnet, kommt man doch auf 2, oder? Bild Mathematik

Woher weiß man ohne es zu messen, dass |AD|=1/2|CD| ist und |DB|=|CD|?

https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=12469386923399255492

Dies ist die Originalfrage.
Weitere Antworten findest du unter

https://www.mathelounge.de/427300/trigonometrie-winkelfunktion-tan

Für dies Dreieck lassen sich jede Menge
Längenverhältnisse herleiten.

Hierzu benötigt man, wenigstens für meine
Antworten, die Trigonometrie.

Falls ihr das im Untericht schon gehabt habt
will ich dir gern weiterhelfen.

mfg Georg

6 Antworten

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tan(30°) = AD / AC   und  tan(60°) = AB / AC


also  AB / AD  =  tan(60°) / tan ( 30 ° )   =  3

Also ist AD ein Drittel von AB und damit die Hälfte von DB.

von 229 k 🚀
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Bild Mathematik Weitere Winkel anschreiben.

Bild Mathematik

Jetzt noch die Strecken genauer miteinander vergleichen.

Bild Mathematik

Daraus ergibt sich  | AD | =1/2 * | CD | = 1/2 * |  DB |

von 162 k 🚀

Woher weiß man ohne es zu messen, dass |AD|=1/2|CD| ist und |DB|=|CD|?

Ich habe das lila beschriftet mit: halbes gleichseitiges Dreieck.

Ergänze die andere Hälfte links neben der Höhe AC.

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60° und alle Seiten gleich lang.

Es folgt aus der Symmetrie ohne messen |AD| = 1/2 |CD|

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∠CBD  = 30° wegen Winkelsumme im  ∇ABC.

∠DCB = 30°, weil DC Winelhalbierende von ∠ACB ist.

Damit ist ∇BCD gleichschenklig und es gilt

        CD = BD.

∠ACD = 30°, weil DC Winelhalbierende von ∠ACB ist.

∠ACD = 60°, wegen Winkelsumme im ∇ACD.

Konstruiert man D' durch Spiegelung von D an AC, dann ist ∇CD'D gleichseitig, weil alle Innenwinkel 60° sind.

AC ist die Höhe von ∇CD'D.

Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck teilt die Grundseite in zwei gleich lange Hälften.

Also ist AD = ½·D'D = ½·CD und weil ∇BCD gleichschenklig ist folgt

    AD = ½·BD

von 77 k 🚀
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Nachfragen bitte zur Originalfrage stellen.

https://www.mathelounge.de/426816/dreieck-skizze-zeige-beweise-dass-ist-wie-kann-man-beweisen

Wenn du noch keine Trigonometrie gehabt hast, musst  du das anders machen. Du hast ja dort mehrere Antworten bekommen.

Bei einer Formel mit Tangens darf man nicht einfach "tan" wegkürzen.

AB/AD= tan(60°)/tan(30°) 

Falls du schon mehr wissen möchtest: Theorie zum Tangens findest du hier

https://www.matheretter.de/wiki/tangens#allgemein 

von 162 k 🚀
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Das geht auch ganz ohne Trigonometrie. Die Skizze zeigt ein halbes gleicheitiges Dreieck, das entlang einer Höhe halbiert wurde. Wenn die Seite BC=a ist, dann ist AC = a/2 und AB = a/2·√3. Wenn jetzt DC eine Winkelhalbierende der 60°-Winkels ist, dann teilt D die Strecke AB im Verhältnis AC/BC=1/2. Dann ist AD der dritte Teil von AB = a/2·√3, nämlich a/6·√3. Wenn AD=0,5 sein soll, dann muss a=√3 gewesen sein, was aber nicht in der Aufgabe steht (vergessen?).

von 103 k 🚀
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Wenn man 60:30 rechnet, kommt man
doch auf 2, oder?

Deshalb ist dies Ergebnis ja auch falsch.

60 stünde für AB
30 stünde für AD
Wie man in der Skizze sieht stimmt das nicht.
( AD = 20 ist zutreffend )

Kennst du trigonometrische Funktionen ?

z.B. den Tangens ?

mfg Georg

von 112 k 🚀

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