Eulerische Zahl Grẹnzwert beweisen

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hallo,
wir sind im Moment bei Folgen und Reihen. Ich will nun formal beweisen, dass:  $$\lim_{n\rightarrow\infty}{{\left(1+\frac{1}{n }\right)}^{n}}=e$$Wie beweist man sowas?
Gefragt 20 Apr von Gast je2177

wie definierst du denn e ?

e ist definiert als Grẹnzwert einer Folge / Reihe. Also ich muss zuerst zeigen, dass der Ausdruck monoton steigend und beschränkt ist. Wie mache ich das?

3 Antworten

+1 Punkt
Beantwortet 20 Apr von Gast jc2144 Experte XIV
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Man betrachte die Funktionenschaar mit der Gleichung fa(x)=ax. Frage: Für welche Zahl a ist die Steigung im Punkt (0;1) ebens groß, wie der Funktionswert an der Stelle 0? Für die Tangente an den Graphen von fa(x) heißt das ax=x+1, wenn x gegen Null geht. Ersetzen wir x durch 1/n dann geht n gegen unendlich, wenn x gegen Null geht. Aus ax=x+1 wird dann a1/n=1/n+1 oder a=(1/n+1)n für n gegen unendlich. Dieser Grenzwert a ist die Zahl, die wir suchen. Wir können sie näherungsweise angeben. Die genaue Zahl ist irrational und trägt den Namen e.

Beantwortet 20 Apr von Roland Experte XXIV

a1/n=1/n+1 oder a=(1/n+1)n für n gegen unendlich

Welche aussagenlogische Verknüpfung soll sich denn hinter deinem "oder" verbergen ?

Hallo gast hj2166. Ich nehme an, du hast mich ausgeguckt, um jemanden zu haben, den man leicht kritisieren kann. Lies mal mein Profil.

Ich kritisiere nicht dich sondern einige falsche Inhalte deiner Beiträge, genauso wie auch falsche Inhalte in den Beiträgen anderer Autoren.

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Du willst also zeigen, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist.

Nenne die Folgenglieder an und dann genügt für die Monotonie zu zeigen 

     an+1 / an  > 1     für alle n aus IN.

Dazu forme um

( 1 + 1/(n+1) ) n+1 /  ( 1 + 1/n ) n  > 1       | : ( 1 + 1/(n+1) )

<=>  ( ( 1 + 1/(n+1) )  /  ( 1 + 1/n )     ) n   >   1     /   ( 1 + 1/(n+1) )  

Die rechte Seite ist aber gleich  1 -  1 / (n+2)  .

Also ist die Monotonie gezeigt, wenn gezeigt wird 

( ( 1 + 1/(n+1) )  /  ( 1 + 1/n )     ) n   >   1 -  1/(n+2)

Die Basis der Potenz links lässt sich umformen zu


1 - 1 / (n+1)2


Also bleibt zu zeigen:


(  1 - 1 / (n+1)2  )    >  1 -  1/(n+2)     (*)

Nun liefert aber die Bernoulli-Ungleichung

(  1 - 1 / (n+1)2  )   >  1 - n/(n+2)2      ##

Nun ist aber    1 - n/(n+2)2    >   1 -  1/(n+2)     #  wie die folgende Umformung zeigt:


  1 - n/(n+2)2    >   1 -  1/(n+2)     | *(n+2)2 

<=>  (n+2)2  - n    >   (n+2)2   - (n+2)

    <=>         -n > - ( n+2)

     <=>          n < n+2  

Also liefern # und ## insgesamt

(  1 - 1 / (n+1)2  )   >  1 - n/(n+2)2    >   1 -  1/(n+2)  

Damit ist (*)  und damit die Monotonie bewiesen.


 

Beantwortet 20 Apr von mathef Experte CXI

Dass 3 eine obere Schranke ist, zeigst du ähnlich

siehe etwa  Seite 2 bei 

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Bruedern-WS0708/VorlForts.pdf


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