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Halli Ich brauche hilfe bei der Nummer 4d)und e) könnte mir das jemand vorrechnen? Vielen Dank Ps: eine Erklärung wäre super :-)

Vektoren im Quader mit Hilfe von Vektoren AB, BC und BF darstellen und e) Bild Mathematik

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Gemäß Skizze sollte AG=AB+BC+CG=a+b+c\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\vec a+\vec b+\vec c gelten.

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Hallo Niki,

Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass man Vektoren im Prinzip frei im Raum verschieben kann. Das bedeutet, dass AB\vec{AB} und DC\vec{DC} der gleiche Vektor sind, genau wie z.B. AE\vec{AE} und BF\vec{BF}. Wen Du AG\vec{AG} darstellen möchtest, so starte beim Punkt AA und laufe z.B. über die Punkte BB und FF zum Punkt GG. Damit erhältst Du den Weg:

AG=AB+BF+FG\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG}

Jetzt ist aber - wie oben schon gesagt:

FG=BC=b\vec{FG}=\vec{BC}=\vec{b}

damit erhält man

AG=a+c+b\vec{AG} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{b}

Genauso kommst Du zum Vektor FD\vec{FD}. Starte im Punkt FF und laufe z.B. über die Punkte EE und HH nach DD. Damit ist

FD=FE+EH+HD\vec{FD}=\vec{FE}+\vec{EH}+\vec{HD}

EH\vec{EH} ist wieder gleich BC=b\vec{BC}=\vec{b}. FE\vec{FE} ist parallel zu AB\vec{AB}, läuft aber in die andere Richtung. D.h.:

FE=AB=a\vec{FE}=-\vec{AB}=-\vec{a}

Genauso verhält es sich mit HD\vec{HD}. Es ist HD=BF=c\vec{HD}=-\vec{BF}=-\vec{c}. Also ist

FD=a+bc\vec{FD}=-\vec{a} +\vec{b}-\vec{c}


zu e) Nun - der Mittelpunkt des Quaders ist auch der Mittelpunkt jeder Diagonale. Und die Diagonale von FF nach DD hast Du schon berechnet. Folglich ist der gesuchte Vektor - ich nenne ihn mal e\vec{e}

e=12FD=12(a+bc)\vec{e}=\frac{1}{2}\vec{FD}=\frac{1}{2} \left(-\vec{a} +\vec{b}-\vec{c} \right)

und wenn Du nun die Koordinaten einsetzt, ist a=AB=BA=(481)(431)=(050)\vec{a}=\vec{AB}=B-A=\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} b=(800)c=(005)\vec{b}=\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}

und

e=12((050)+(800)(005))=12(855)=(42,52,5)\vec{e}=\frac{1}{2}\left( -\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right)=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2,5 \\ -2,5 \end{pmatrix}

Gruß Werner

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