Gegeben sind die Kurven \(x^2-y^2=16 \) und \(y^2=6x\).
1.) Unter welchem Winkel schneiden einander die Kurven?
Schnittpunkte:
\(x^2-6x=16 \)
\((x-3)^2=25 |±\sqrt{~~} \)
1.)
\(x-3=5 \)
\(x_1=\red{8} \) \(y^2=48\) \(y_1=\blue{\sqrt{48}}\) \(y_2=-\sqrt{48}\)
2.)
\(x-3=-5 \)
\(x_2=-2 \) Die beiden y-Werte liegen nicht in \(ℝ\)
Tangente an die Hyperbel:
\(\red{8} x-\blue{\sqrt{48}}y=16\) Tangentensteigung \(m_h=\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}\)
Tangentensteigung an die Parabel:
\(y^2=6x\) \(y=\sqrt{6x}\) \(y'=\frac{6}{2\sqrt{6x}}=\frac{3}{\sqrt{6x}}\)
\(y'(8)=\frac{3}{\sqrt{48}}\)
\(m_p=\frac{3}{\sqrt{48}}\)
Winkel zwischen den beiden Graphen:
\(\tan(α)=| \frac{m_h-m_p}{1+m_h\cdot m_p} |\)
\(\tan(α)=| \frac{\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}-\frac{3}{\sqrt{48}}}{1+\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}\cdot \frac{3}{\sqrt{48}}} |=|\frac{\frac{5}{\sqrt{48}}}{1+\frac{24}{48}}|=\frac{\frac{5}{\sqrt{48}}}{1,5}=\frac{10}{3\sqrt{48}}\)
\( \tan^{-1}(\frac{10}{3\sqrt{48}})= 25,69°\)
Da die beiden Graphen symmetrisch zur x-Achse sind, ergibt sich derselbe Schnittwinkel.
