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Integralrechnung vom Rotationskörper:

meine erste Frage lautet wie folgt:

Gegeben sind die Kurven x²-y²=16  und y²=6x.

1.) Unter welchem Winkel schneiden einander die Kurven?

2.) Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers, welcher durch Drehung der gemeinsamen Fläche um die x-Achse entsteht?

meine zweite Frage:

Der Achsenschnitt eines Starkstromisolators wird von 2 Ellipsenbögen und 2 Hyperbelbögen gebildet. Die große Achse der Ellipse beträgt 2a=20cm, die kleine Achse 2b=10. Die Hyperbel ist gleichseitig und hat die Achsen 2a=2b=4√¯5.

Wie schwer ist der durch Rotation des Achsenschnitts um die y-Achse entstehende Drehkörper, wenn seine Dichte ϱ=2,4g/cm³?

Hinweis: M=V x ϱ

 
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Ich gebe nur kurz die Vorgehensweise zur Aufgabe 1 Teil 1 an, wie man bei solchen Aufgaben herangeht. Lösungsergebnisse habe ich aus Zeitgründen immo nicht parat. Vielleicht übers WE.

Aufgabe 1, Teil 1:

- Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmen.

- Aufstellen der Tangentengleichungen an den Schnittpunkten der Graphen

- Ermittlung des Winkels zwischen den Tangentengleichungen
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Gegeben sind die Kurven \(x^2-y^2=16 \) und \(y^2=6x\).
1.) Unter welchem Winkel schneiden einander die Kurven?

Schnittpunkte:

\(x^2-6x=16 \)

\((x-3)^2=25 |±\sqrt{~~} \)

1.)

\(x-3=5  \)

\(x_1=\red{8}  \)    \(y^2=48\)      \(y_1=\blue{\sqrt{48}}\)    \(y_2=-\sqrt{48}\)

2.)

\(x-3=-5  \)

\(x_2=-2  \) Die beiden y-Werte liegen nicht in \(ℝ\)

Tangente an die Hyperbel:

\(\red{8} x-\blue{\sqrt{48}}y=16\)      Tangentensteigung  \(m_h=\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}\)

Tangentensteigung an die Parabel:

\(y^2=6x\)     \(y=\sqrt{6x}\)        \(y'=\frac{6}{2\sqrt{6x}}=\frac{3}{\sqrt{6x}}\) 

\(y'(8)=\frac{3}{\sqrt{48}}\)

\(m_p=\frac{3}{\sqrt{48}}\)

Winkel zwischen den beiden Graphen:

\(\tan(α)=| \frac{m_h-m_p}{1+m_h\cdot m_p}  |\)

\(\tan(α)=| \frac{\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}-\frac{3}{\sqrt{48}}}{1+\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}\cdot \frac{3}{\sqrt{48}}}  |=|\frac{\frac{5}{\sqrt{48}}}{1+\frac{24}{48}}|=\frac{\frac{5}{\sqrt{48}}}{1,5}=\frac{10}{3\sqrt{48}}\)

\( \tan^{-1}(\frac{10}{3\sqrt{48}})= 25,69°\)

Da die beiden Graphen symmetrisch zur x-Achse sind, ergibt sich derselbe Schnittwinkel.

Unbenannt.JPG

Avatar vor von 38 k
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Gegeben sind die Kurven

x² - y² = 16 --> f(x) = √(x^2 - 16)
y² = 6x → g(x) = √(6x)

Da die Kurven symmetrisch zur x-Achse sind, habe ich bei der Umformung nur die Kurve im ersten Quadranten betrachtet.

Zunächst können wir die Schnittstellen über das Einsetzungsverfahren ermitteln.

x² - 6x = 16 --> x = 8 (∨ x = -2)

Ableitungen der Funktionen bestimmen

f'(x) = x/√(x^2 - 16)
g'(x) = 3/√(6x)

Schnittwinkel an der Stelle x = 8 bestimmen

α = ARCTAN(f'(8)) - ARCTAN(g'(8)) = ARCTAN(2/3·√3) - ARCTAN(1/4·√3) = 25.69°

Skizze

~plot~ sqrt(x^2-16);sqrt(6x);[[0|12|0|9]] ~plot~

Volumen

V = ∫ (0 bis 8) (pi·(6·x)) dx - ∫ (4 bis 8) (pi·(x^2 - 16)) dx = 320/3·pi = 335.1 VE

Avatar vor von 484 k 🚀

Der Faktor 20/31 fehlt.

Danke. Es war der Faktor 40/31.

Es sollte aber pi und nicht 2pi sein.

Es sollte aber pi und nicht 2pi sein.

Da hast du natürlich völlig recht. Vielen Dank nochmals für die Korrektur.

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