Achsenschnitt zweier Kurven: x²-y²=16 und y²=6x

Question

Integralrechnung vom Rotationskörper:

meine erste Frage lautet wie folgt:

Gegeben sind die Kurven x²-y²=16  und y²=6x.

1.) Unter welchem Winkel schneiden einander die Kurven?

2.) Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers, welcher durch Drehung der gemeinsamen Fläche um die x-Achse entsteht?

meine zweite Frage:

Der Achsenschnitt eines Starkstromisolators wird von 2 Ellipsenbögen und 2 Hyperbelbögen gebildet. Die große Achse der Ellipse beträgt 2a=20cm, die kleine Achse 2b=10. Die Hyperbel ist gleichseitig und hat die Achsen 2a=2b=4√¯5.

Wie schwer ist der durch Rotation des Achsenschnitts um die y-Achse entstehende Drehkörper, wenn seine Dichte ϱ=2,4g/cm³?

Hinweis: M=V x ϱ

 

Answer 1

Ich gebe nur kurz die Vorgehensweise zur Aufgabe 1 Teil 1 an, wie man bei solchen Aufgaben herangeht. Lösungsergebnisse habe ich aus Zeitgründen immo nicht parat. Vielleicht übers WE.

Aufgabe 1, Teil 1:

- Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmen.

- Aufstellen der Tangentengleichungen an den Schnittpunkten der Graphen

- Ermittlung des Winkels zwischen den Tangentengleichungen

Answer 2

Gegeben sind die Kurven $x^2-y^2=16$ und $y^2=6x$.
1.) Unter welchem Winkel schneiden einander die Kurven?

Schnittpunkte:

$x^2-6x=16$

$(x-3)^2=25 |±\sqrt{~~}$

1.)

$x-3=5$

$x_1=\red{8}$    $y^2=48$      $y_1=\blue{\sqrt{48}}$    $y_2=-\sqrt{48}$

2.)

$x-3=-5$

$x_2=-2$ Die beiden y-Werte liegen nicht in $ℝ$

Tangente an die Hyperbel:

$\red{8} x-\blue{\sqrt{48}}y=16$      Tangentensteigung  $m_h=\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}$

Tangentensteigung an die Parabel:

$y^2=6x$     $y=\sqrt{6x}$        $y'=\frac{6}{2\sqrt{6x}}=\frac{3}{\sqrt{6x}}$ 

$y'(8)=\frac{3}{\sqrt{48}}$

$m_p=\frac{3}{\sqrt{48}}$

Winkel zwischen den beiden Graphen:

$\tan(α)=| \frac{m_h-m_p}{1+m_h\cdot m_p} |$

$\tan(α)=| \frac{\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}-\frac{3}{\sqrt{48}}}{1+\frac{\red{8}}{\blue{\sqrt{48}}}\cdot \frac{3}{\sqrt{48}}} |=|\frac{\frac{5}{\sqrt{48}}}{1+\frac{24}{48}}|=\frac{\frac{5}{\sqrt{48}}}{1,5}=\frac{10}{3\sqrt{48}}$

$\tan^{-1}(\frac{10}{3\sqrt{48}})= 25,69°$

Da die beiden Graphen symmetrisch zur x-Achse sind, ergibt sich derselbe Schnittwinkel.

Answer 3

Gegeben sind die Kurven

x² - y² = 16 --> f(x) = √(x² - 16)
y² = 6x → g(x) = √(6x)

Da die Kurven symmetrisch zur x-Achse sind, habe ich bei der Umformung nur die Kurve im ersten Quadranten betrachtet.

Zunächst können wir die Schnittstellen über das Einsetzungsverfahren ermitteln.

x² - 6x = 16 --> x = 8 (∨ x = -2)

Ableitungen der Funktionen bestimmen

f'(x) = x/√(x² - 16)
g'(x) = 3/√(6x)

Schnittwinkel an der Stelle x = 8 bestimmen

α = ARCTAN(f'(8)) - ARCTAN(g'(8)) = ARCTAN(2/3·√3) - ARCTAN(1/4·√3) = 25.69°

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = √(x²-16)f₂(x) = √(6x)Zoom: x(0…12) y(0…9)

Volumen

V = ∫ (0 bis 8) (pi·(6·x)) dx - ∫ (4 bis 8) (pi·(x² - 16)) dx = 320/3·pi = 335.1 VE

Comments

Der Faktor 20/31 fehlt.

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Danke. Es war der Faktor 40/31.

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Es sollte aber pi und nicht 2pi sein.

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Es sollte aber pi und nicht 2pi sein.

Da hast du natürlich völlig recht. Vielen Dank nochmals für die Korrektur.