Linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert einer Funktionen

Question

Ich brauch Hilfe bei der Berechnung der linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerts der folgenden Funktionen im Punkt x = 0.Desweiteren muss ich bestimmen, in welchen Fällen sogar der Grenzwert x→0  existiert?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\sqrt{-x},} & {\text { für } x<0,} \\ {\sqrt{x},} & {\text { für } x \geq 0,}\end{array} \quad g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}+2,} & {\text { für } x<0} \\ {(x+2)^{2},} & {\text { für } x \geq 0}\end{array}\right.\right. \)

Was heißt linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktionen im Punkt x = 0? Und wie geht man vor um diesen zu berechnen? Und was heißt eine Existenz eines Grenzwerts x→0 ? Bitte also vor allem auch um Erklärungen.

Answer 1

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert für x→a bedeuten, dass man die Grenzwerte für die beiden Fälle berechnet, dass sich x von links (also mit Werten x<a) bzw. von rechts (also mit Werten x>a) der Zahl a nähert.

Für dein f(x) bedeutet das

lim_x→0- f(x)  =  lim_x→0-  √(-x)    =  0

lim_x→0+ f(x)  =  lim_x→0+  √(x)   =  0

Da links- und rechtsseitiger Grenzwert hier übereinstimmen, existiert der Grenzwert von f für die Annäherung x→0 unabhängig von der Lage von x bzgl. 0:

 lim_x→0- f(x) = lim_x→0+ f(x)  =  lim_x→0  f(x)  =  0

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Bei g(x) ergibt sich  lim_x→0- g(x)  = 2   ≠   lim_x→0+ g(x)  = 2² = 4

lim_x→0  g(x) existiert deshalb nicht

Gruß Wolfgang

Comments

Wie sehen denn die Rechenschritte exakt für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert aus. Also lim_x→0- und lim_x→0+ . Bei limes stelle ich mir Grenzwert Berechnungen von Folgen  vor also limes von unendlich.

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Wenn du z.B.   lim_x→2  f(x)  ausrechnen sollst, dann gilt  - wenn f  in einer Umgebung von 2 stetig ist  -   lim_x→2  f(x) = f(2)  

Du kannst also x einfach einsetzen.

Das ist bei den obigen einseitigen Grenzwerten in einer links- bzw. rechtsseitigen Umgebung von 0 jeweils der Fall. Du kannst also für die Bestimmung der einseitigen GW jeweils einfach in den  "zuständigen" Funktionsterm einsetzen.