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Beweisen Sie: Für jedes m ∈ ℕ gilt


limx(log(x))mx=0 \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { (log(x))^{ m } }{ x } } =\quad 0

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Könnte vielleicht mit Induktion über mm und l'Hospital klappen:limx(logx)mx=mlimx(logx)m1x.\lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^m}x=m\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^{m-1}}x.

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Ich gehe davon aus, dass der natürliche Loarithmus gemeint ist. Für eine andere Basis erfolgt das Vorgehen analog.

Für

log(x)x1m=log(x)exp(1mlog(x)) \frac{log(x)}{x^{\frac{1}{m}}} = \frac{log(x)}{exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))}

gilt nach l'Hospital:

limxlog(x)exp(1mlog(x))=limx1x1mxexp(1mlog(x))=limxmexp(1mlog(x))=0 \lim_{x \to \infty}{\frac{log(x)}{exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))} } \\ =\lim_{x \to \infty}{ \frac{\frac{1}{x}}{ \frac{1}{mx} \cdot exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))}} \\ = \lim_{x \to \infty}{ \frac{m}{ exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))}} \\ = 0

Und da das Produkt von Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist, gilt

limxlog(x)x1m=limxlog(x)mx=0 \lim_{x \to \infty}{\frac{log(x)}{x^{\frac{1}{m}}}} = \lim_{x \to \infty}{\frac{log(x)^m}{x}} = 0

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setze log(x)=y

x=ey

da x gegen unendlich strebt , strebt auch y gegen unendlich.

Der neue Grenzwert lautet somit

Lim y --->∞  ym/ey

Es ist für positive y

ey=∑k=0 bis ∞ yk/k!

> ∑k=0 bis (m+1) yk/k!

Dies ist ein Polynom (m+1)ten Grades

Somit ist Lim y --->∞  ym/ey=0

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