Partielle Ableitung mit 3 Variablen. Ausgangsfunktion: x^3 z^2 - 5xy^5 z = x^2 + y^3

Question

Ich habe folgendes Problem. Ich möchte die folgende Funktion einmal von dz/dx ableiten und einmal von dz/dy. Die richtige Lösung habe ich bereits, kann diese aber nicht nachvollziehen.

Ausgangsfunktion: x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

Zunächst dz/dx:
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

Fragen:
- Wie kommt man von x³z² auf 3x²z²+ 2x³z(dz/dx)?
- Wie kommt man von - 5xy⁵z auf - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx)?

Hier dz/dy:
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

Fragen:
- Wie kommt man von x³z² auf 2x³z(dz/dy) ?
- Wie kommt man von - 5xy⁵z auf - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy)?

Die Aufgabe habe ich von der folgenden Seite:
http://de.wikihow.com/Implizite-Funktionen-ableiten

Im PDF Anhang habe ich versucht, die Aufgabe bereits zu lösen ...

Mathe Problem.pdf (0,3 MB)

Answer 1

Hallo

hier wird implizit abgeleitet (nicht partiell). D.h. die Funktionen werden nicht als unabhängig voneinander angeschaut.

z ist hier offenbar eine Funktion von x und von y.

Ausgangsfunktion: x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

Zunächst dz/dx:  / Zunächst nach x ableiten. z(x) . z'(x) = dz / dx 
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³ 

                     | Produktregel beim ersten Summanden. Und, wo z^2 abgeleitet wird noch die Kettenregel verwenden 
3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

Rest analog.