P64 Integrale und Flächeninhalte. Integral von f(x) = - |x-3| + 1

Question

Bitte um Hilfe :)

Freudliche Grüsse

Immai

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(a) "Skizzieren Sie...":

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Bei der a kann ich dann mit

A= g×h × 1/2 argumentieren?

Und wie geht die b?^^

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Wenn du beim Integrieren auf 1 kommst und der Meinung bist, der mit der Flächenformel ausgerechnete Dreiecksflächeninhalt sei auch 1, dann kannst du so argumentieren dort wo "bestätigen Sie" verlangt wird.

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Danke alle klar hab ich mir so gedacht^^

Answer 1

Wir haben dass x-3 ≥ 0 wenn x ≥ 3 und x-3 <0 wenn x < 0.

Es gilt also dass $$|x-3|=\left\{\begin{matrix}x-3 & , \ x\geq 3\\ -(x-3) & , \ x<3\end{matrix}\right.$$

Wir teilen das Intervall von 2 bis 4 in zwei Intervalle und zwar von 2 bis 3 und von 3 bis 4. In den ersten Bereich ist x-3 negativ und im zweiten positiv.

Wir bekommen also $$\int_2^4 \left(-|x-3|+1\right)dx= \\ \int_2^3 \left(-|x-3|+1\right)dx+\int_3^4 \left(-|x-3|+1\right)dx \\ =\int_2^3 \left(-\left(-\left(x-3\right)\right)+1\right)dx+\int_3^4 \left(-\left(x-3\right)+1\right)dx \\ =\int_2^3 \left(x-3+1\right)dx+\int_3^4 \left(-x+3+1\right)dx \\ =\int_2^3 \left(x-2\right)dx+\int_3^4 \left(-x+4\right)dx$$

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VIELEN DANK

War sehr hilfreich :)

Answer 2

zwischen 0 und 1 schneiden die sich nicht, sondern nur bei 0 und 1.

Also

∫ x*exp(x)  dx von 0 bis 1 ausrechnen

Stammfunktion ist (x-1)*exp(x)   (part. Int. )

also Integral = 1

Dann

∫ x*exp(x²)  dx von 0 bis 1 ausrechnen

Stammf:  exp(x²) / 2, also

Integral = e/2 - 1/2 = 0,86

Also dazwischen 0,14

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VIELEN DANK

jetzt kann ich es nachrechnen^^

Answer 3

Das Integral lässt sich auch viel einfacher bestimmen, indem Integrand und Grenzen um drei Einheiten nach links verschoben werden und die ohnehin vorhandene Symmetrie ausgenutzt wird:

$$\int_2^4 \left(-\left|x-3\right|+1\right)\text{d}x\\\,\\ = \int_{-1}^1 \left(-\left|x\right|+1\right)\text{d}x\\\,\\ = 2\cdot\int_0^1 \left(-x+1\right)\text{d}x\\\,\\ = 1.$$