Funktion/Abbildung als Matrixabbildung darstellen?

Question

Meine Frage ist wann man eine Abbildung darstellen kann? Nur wenn es linear ist?

Beispiel: f: R → R mit x → x² ist nicht linear. Kann ich das aber als Matrixabbildung darstellen?LG

Comments

> wann man eine Abbildung darstellen kann?

Wenn man endlich viele Regeln angeben kann, welche Zahl auf welche Zahl abgebildet wird.

> Kann ich das aber als Matrixabbildung darstellen?

Was ist eine Matrixabbildung?

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Naja ich musste in der Aufgabe begründen warum bestimmte  Abbildungen(Beispiel Aufgabe oben) nicht linear sind. Und nun soll ich erklären ob ich das als Matrixabbildung darstellen könnte.  Eine Matrixabbildung ist halt eine Matrix, um eine lineare Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektoren zu beschreiben. MfG

Answer 1

nein das geht nicht.

Man kann nur für lineare Abbildungen eine Darstellungsmatrix finden.

Comments

Kannst du mir vielleicht erklären wie ich die Matrix herausfinde?

Bsp: f: R→ R mit x → 3x ist ja linear.

Wie finde ich die Matrix dazu? MfG

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Die Matrix ist (3).

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also eine 1x1 Matrix? / Wie findet man denn das aus?

MfG

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Ja, eine 1×1-Matrix.

> Wie findet man denn das aus?

Eine lineare Abbildung f: ℝⁿ → ℝ^m kann als m×n-Matrix dargestellt werden. Bei f: ℝ → ℝ, x↦3x ist m = n = 1.

Wie wird die Matrix m×n-Matrix verwendet um das Bild eines Vektors zu berechnen? Sie wird mit dem Vektor multipliziert.  Was wird in f: ℝ → ℝ, x↦3x mit dem x multipliziert um das Bild zu berechnen?

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Ich kann mir das mit 3x -> (3) schon vorstellen. Aber wie macht man es denn bei R² →  R³ mit (x₁,x₂) → (3x₂, 0, x₁-Wurzle2*x₂) .

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Es muss eine 3×2-Matrix $M := \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{32}&a_{32}\end{pmatrix}$ sein.

Es muss $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{32}&a_{32}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x_2\\0\\x_1 - \sqrt{2}x_2\end{pmatrix}$ für alle $x_1$, $x_2$ gelten.

Rechne die linke Seite aus. Zerlege die Vektorgleichung komponentenweise in ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Bestimme in diesem Gleichungssystem $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$, $a_{32}$ und $a_{32}$ so, dass in den Lösungen unabhängig von $x_1$ und $x_2$ sind.

Beispiel. Die zweite Gleichung des Gleichungssystems besagt $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = 0$. Auflösen nach $a_{21}$ liefert $a_{21} = -\frac{a_{22}x_2}{x_1}$. Diese Gleichungs kann nur dann für alle $x_1\neq 0$, $x_2$ gelten, wenn $a_{22} = 0$ ist. Also muss $a_{22} = 0$ sein. Dann muss aber auch $a_{21} = 0$ sein. Einsetzen dieser Lösungen in die Gleichung $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = 0$ ergibt, dass diese Gleichung dann auch für $x_1=0$ gilt.

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$\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ e&f\end{pmatrix}$ *$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3x_2 \\0 \\ x_1-√2·x_2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0&3\\ 0&0\\ 1&-√2\end{pmatrix}$