Question

Für x ∈ R sei f(x) = x /(1 + x²) .

(a) Berechnen Sie f ´(x) und f ´´(x).

(b) Bestimmen Sie möglichst große Teilintervalle von R, auf denen f monoton fällt bzw. steigt.

(c) Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f konvex bzw. konkav ist.

(d) Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von R die Funktion f progressiv steigend, degressiv steigend, progressiv fallend bzw. degressiv fallend ist.

Answer 1

(a) Berechnen Sie f ´(x) und f ´´(x).

f(x) = x/(1 + x²)

f'(x) = (1 - x²)/(x² + 1)²

f''(x) = 2·x·(x² - 3)/(x² + 1)³

(b) Bestimmen Sie möglichst große Teilintervalle von R, auf denen f monoton fällt bzw. steigt. 

f'(x) ≥ 0 --> -1 ≤ x ≤ 1 In den anderen Bereichen dann fallend.

(c) Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f konvex bzw. konkav ist. 

f''(x) ≥ 0 --> - √3 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ √3 In den anderen bereichen dann konkav

(d) Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von R die Funktion f progressiv steigend, degressiv steigend, progressiv fallend bzw. degressiv fallend ist.

Progressiv steigend --> f'(x) ≥ 0 und f''(x) ≥ 0 --> -1 ≤ x ≤ 0

Restlichen Bereiche schaffst du denke ich alleine oder?

Answer 2

(a) Sei $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ dann sind die ersten beiden Ableitungen:

$$f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$

$$f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$$

Vor der Antwort der nächsten Frage, schauen wir uns das ganze mal an:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x/(1+x²)f₂(x) = (1-x²)/(1+x²)²f₃(x) = 2x·(x²-3)/((1+x²)³)

(b) Die blaue Kurve ist der Graph von $f$, die rote von $f'$ und die grüne von $f''$. $f$ steigt dann monoton, wenn $f'>0$ ist. Dies ist zwischen -1 und +1 der Fall. Für $x<-1$ und $x>+1$ fällt $f$ monoton.

(c) konvex bedeutet, dass $f$  'nach unten' durchhängt, bzw. eine Linkskurve beschreibt. konkav ist das Gegenteil. Damit $f$ eine Linkskurve bechreibt, muss die Steigung immer zunehmen, d.h. die Steigung der Steigung - also $f''$ - muss $>0$ sein.

Konvex ist $f$ demnach in den Bereichen $x \in (-\sqrt{3} .. 0)$ und $x \gt \sqrt{3}$.