Warum ist die Ableitung von e^x = e^x?

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Genauer gefragt: Warum ist lim h→0  (e^h -1)/h = 1? (Zeilen  vier und folgende im angehaengten Beweis):Bild Mathematik

Gefragt 14 Jul von Gast ih1555

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Hallo,

eigentlich lautet die Frage im Ursprung:

Gibt es eine Zahl a, sodass [a^x]'=a^x ?

Dann stellt man den Differentialquotienten auf und erhält

das da oben. Es muss dann also lim h -> 0 (a^h-1)/h = 1 erfüllt sein. 

Geht man davon aus, dass eine solche Zahl a existiert, einigt man sich darauf diese Zahl

e zu nennen und ist fertig ;) 

Daraus kann man dann mögliche Darstellungen der Zahl e ableiten. 

Beantwortet 14 Jul von Gast jc2144 Experte XIV

Richtig. So hatte unser Lehrer auch e^x definiert. Als 100% iges stetiges Wachstum.

e = lim (n --> ∞) (1 + 1/n)^n

Ich kann nicht sehen, wie diese Antwort mein Problem löst. Ich versuche noch einmal zu präzisieren, worum es mir geht. Ich habe einen Beweis für [e^x]' = e^x  zitiert. Mein Verständnis versagt an der Stelle, wo es heißt: 

Bild Mathematik

e ist eine Konstante, nicht wahr? Wenn ich nun h gegen null gehen lassen, wird e^h gegen eins gehen, oder? Der ganze Bruch ginge dann gegen 0. Der Beweis aber sagt in der folgenden Zeile: 

Bild Mathematik

Jener obige Bruch ginge dann also nicht gegen 0, sondern gegen 1. Warum?  Was ist die Berechtigung dafür? Oder ist es eine willkürliche Setzung? 

e ist eine Konstante, nicht wahr?

Ja.

Wenn ich nun h gegen null gehen lassen, wird ehgegen eins gehen, oder? Der ganze Bruch ginge dann gegen 0

Nein. Im Grenzwert Prozess streben Zähler und Nenner hier gegen 0, daher weiß man erstmal gar nicht gegen was das konvergiert. Es hängt davon ab wie schnell 

e^h-1  im Vergleich zu h gegen 0 strebt.

Nun definiert man aber e genauso , dass der Grenzwert gegen 1 konvergiert.

Genauer: es ist e^h≈h+1 für h --->0



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Der von dir genannte Bruch geht nicht gegen 0, sondern

der Zähler geht gegen 0 und der Nenner aber auch .

Also ist das ein Grenzwert vom Typ   0 / 0

und das kann alles sein. Überlege mal

für    h/h    und h2/ h           und  h / h2  

was das für h gegen 0 gibt .

Damit ist die gegebene Def. von e durchaus sinnig.

Beantwortet 15 Jul von mathef Experte CXI

Danke! Damit ist meine Frage beantwortet! G.R.

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