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Gegeben sind die Funktionen: 

f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4
g(x) = -x^{2} + 4

Schnittpunkte

g(x) = f(x)
-x^{2} + 4 = x^{4} - 5x^{2} + 4
0 = x^{4} - 4x^{2}
0 = x^{2} ( x^{2} - 4)

N_(1)( -2 I 0 )
N_(2)( 0 I 4 )
N_(3)( 2 I 0 )

Integral berechnen

g(x) ist die obere bei der Eingeschlossenen Fläche, deswegen g(x)-f(x)

∫_(-2 bis 2) g(x) - f(x) dx
∫_(-2 bis 2) -x^{4} + 4x^{2} dx

= ( x^{5}/5 + 4x^{3}/3 )
= F(2) - F(-2)
= 472/15

Und das ist glaube ich Falsch, der Integralrechner Online liefert ein anderes Resultat und zwar: -128/15 (Negative Fläche!)

von

4 Antworten

+2 Daumen
 
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Hallo limonade,

g(x) - f(x)  =  - x4 + 4x2  

Du musst normalerweise von Nullstelle zu Nullstelle der Differenzenfunktion integrieren und die Beträge der Integrale addieren.

Hier wäre das wegen der Symmetrie egal, aber deine Stammfunktion ist falsch: 

F(x) =  - x5/5 + 4x3/3

Wegen der Symmetrie der Differenzenfunktion zur y-Achse kannst du hier einfach.

A  =  2 * | 02 ( - x4 + 4x2)  dx |  =  2 * 64 / 15   = 128/15  rechnen.

Wenn du den Betrag setzt, musst du dir keine Gedanken machen, welche Funktion in den Intervallen zwischen den Nullstellen jeweils oben liegt.

Gruß Wolfgang

von 80 k

Cool, vielen Dank, ja ich hab die Aufgabe zuerst mit 2*das Integral von 0 bis 2 gerechnet aber kam auf ein völlig anderes Resultat.

Das mit den Beträgen habe ich nur gesehen, wenn sich die Flächen abwechseln.

Zb rechnet man dann für A im positiven und B im Negativen

A + IBI Aber kann man generell sagen, wenn man Integrale mit in Beträge stellt, dass die Lösung am Ende dann stimmen muss?

So ist es :-)

+2 Daumen

Erstens hast du 3 Schnittpunkte bei
x = -2
x = 0
x = 2

Differenzfunktion
d ( x ) = -x4 + 4x2

2 Integrale bilden
∫ d ( x ) zwischen -2 und 0
und
∫ d ( x ) zwischen 0 und 2
( aufgrund der Symmetrie zur y-Achse
braucht nur 1 Integral berechnet zu werden )

Den Wert absolut setzen und mal 2 nehmen.

128 / 15 ist das richtige Ergebnis.

von 85 k
+1 Punkt

> g(x) ist die obere bei der Eingeschlossenen Fläche

Diese Mühe lohnt sich oft nicht.

> ∫-2 bis 2 g(x) - f(x) dx

Du musst berücksichtigen, dass du auch bei x = 0 einen Schnittpunkt hast. An diesem Schnittpunkt kann es sich ändern, welche Funktion oberhalb der anderen verläuft.

Berechne deshalb |∫-2 .. 0 g(x) - f(x) dx | + |∫0 .. 2 g(x) - f(x) dx |.

> ∫-2 bis 2 -x4 + 4x2 dx = ( x5/5 + 4x3/3 )

Stammfunktion von -x4 + 4x2 ist -x5/5 + 4x3/3.

Zur Notation:

\(\begin{align}\int_{-2}^2 -x^4 + 4x^2 &= [-x^5 + 4x^3]_{-2}^2\\&=(-2^5 + 4\cdot 2^3) - (-(-2)^5 + 4\cdot (-2)^3) \end{align}\)

Oder falls du irgendwann schon vorher gesagt hast, dass F(x) = -x5 + 4x3 ist, dann genügt auch

\(\begin{align}\int_{-2}^2 -x^4 + 4x^2 &= F(2) - F(-2) \\&=(-2^5 + 4\cdot 2^3) - (-(-2)^5 + 4\cdot (-2)^3) \end{align}\)

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Hallo!

Der von dir gebildete Stammfunktion fehlt gleich zu Anfang ein Minuszeichen. Wird es ergänzt, geht die Rechnung durch:

(-2^5/5 + 4*2^3/3) - (-(-2)^5/5 + 4*(-2)^3/3) = 128/15

Die Integrationsgrenzen von -2 bis +2 sind ok, die Differenzfunktion wechselt an der Stelle x=0 ja nicht ihr Vorzeichen. Gleichwohl lohnt es sich eventuell, die Symmetrie auszunutzen, denn schließlich macht

2*(-2^5/5 + 4*2^3/3) = 128/15

weniger Arbeit.

von 15 k

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