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Wie gehe ich vor für eine Taylorreihenentwicklung y=1/cos(x) um den Nullpunkt, bis zum x^2-Term? Die Kurve der genannten Funktion soll in Umgebung von x=0 durch Parabel angenähert werden.

Was heißt x=0? Das heißt "nur", dass es auf der y-Achse liegt? Ist das richtig? Oder ist der Koordinatenursprung gemeint?

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Hallo JD,

>  f(x) = 1/cos(x)  

Tn(f,x,a)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{n} \)  f(k)(a) / k! · (x - a)k 

Bei dir sind  n = 2  und  a = 0 :

T2(f,x,0)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{2} \)  f(k)(0) / k! · xk 

das ergibt mit den Ableitungen 

                     f(1) (x)  =  SIN(x) / COS2(x)    ( [1/u] ' = -u'/u2

              und   f(2) (x)  =  (SIN2(x) + 1) / COS3(x)     (Quotientenregel)  

T2(f,x,0)  =  1/cos(0) / 0! · x0  +  0  +  1/2 · x2  =  1/1 / 1 · 1  +  0  +  1/2 · x2

T2(f,x,0)  =  1 + 1/2 · x2

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>  Was heißt x=0? Das heißt "nur", dass es auf der y-Achse liegt? Ist das richtig? Oder ist der Koordinatenursprung gemeint? 

Taylorreihenentwicklung um den Nullpunkt (x0=0)  bedeutet, dass die Werte des  Taylorpolynoms  in der Nähe von x=0  näherungsweise mit den Funktionswerten übereinstimmen.

Gruß Wolfgang

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Alternativlösung:

Man kann das Taylorpolynom durch Ableiten der Funktion und Verwendung der Taylorformel bestimmen.

Mit x=0 ist die Entwicklungsstelle gemeint, dann enthält die Taylorreihe Potenzen von (x-0)=x.

Setzt man die Taylorreihe für den Cosinus und die geometrische Reihe als bekannt voraus, kann man sich dies jedoch einsparen.

Das Taylorpolynom 2ten Grades für den Cosinus an der Entwicklungsstelle x0 = 0 lautet

cos(x) ≈ 1-x^2/2

Somit kann man 1/cos(x)≈1/(1-x^2/2) nähern .

Dies ist eine geometrische Reihe:

1/(1-x^2/2) ≈ 1+ x^2/2 + (x^2/2)^2 +(x^2/2)^3+....

Da nur nach dem Taylorpolynom 2ten grades gefragt ist erhält man

 1/cos(x)≈1/(1-x^2/2)≈1+ x^2/2

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$$y=\frac{1}{cos(x)}=(cos(x))^{-1}\\ y'=(-1)\cdot (cos(x))^{-2}\cdot (-sin(x))\\ y'=\frac{sin(x)}{cos^2(x)}\\ u=sin(x)\\ u'=cos(x)\\ v=cos^2(x)\\ v'=-2cos(x)sin(x)\\ y''=\frac{cos(x)\cdot cos^2(x)-[sin(x)\cdot (-)2cos(x)sin(x)]}{cos^4(x)}\\ y''=\frac{cos^3(x)+2cos(x)sin^2(x)}{cos^4(x)}\\ y''=\frac{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^4(x)}\\ ⇒ \\ y=\frac{1}{cos(x)}\qquad\qquad ;y(0)=1\\ y'=\frac{sin(x)}{cos^2(x)}\qquad\qquad;y'(0)=0\\ y''=\frac{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^3(x)}\quad ;y''(0)=1\\ ⇒y=1+0\cdot (x-0)+\frac{1}{2}(x-0)^2\\ y=1+\frac{x^2}{2}$$


                                   

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