Kreisberechnung (Radius Mittelpunkt bestimmen)

Question

Hallo liebe Helfer,

die Aufgabe lautet "UNtersuchen Sie, ob die nachfolgenden Gleichungen Kreise beschreiben. Falls ja, bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius."

Aufgabe 1: x² + y² + 4x - 2y + 1 = 0

Wie komme ich an die geforderten Werte?


Vg und danke im Voraus,

owntYA

Answer 1

Hi owntYA,

x² + y² + 4x - 2y + 1 = 0

x²+4x  + y²-2y    +1 = 0  |binomische Formeln ergänzen

x²+4x+4-4   +y²-2y+1-1  +1 = 0

(x+2)² -4 +(y-1)² -1 +1  = 0

(x+2)²+(y-1)²-4 = 0

 

Man kann nun direkt den Radius ablesen -> r²=4 -> r=2

Der Mittelpunkt ist bei M(-2|1).

 

Grüße

Comments

Super!

Aufgabe b) konnte ich dank deiner Hilfe lösen,


Magst du mir bei kommender Aufgabe auch weiterhelfen?
Aufgabe: Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises, auf dem die nachfolgenden drei Punkte liegen.

1a.:       (0,0), (2,0) und (0,2)


Danke nochmals,


Vg

owntYA

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Wenn man sich das in ein Koordinatensystem malt, kann man es direkt sehen :).

Der Mittelpunkt befindet sich bei M(1|1), der Radius ist dann offensichtlich √2 (was man durch den Pythagoras auch schnell nachrechnen kann).

 

Man hat also

(x-1)²+(y-1)²-2=0

 

Grüße

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Ist es auch mögliche alle Punkte in (falls vorhanden) einer Kreisgleichung einzutragen und darüber an die Werte zu gelangen?

Vg

owntYA

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Eine Gleichung wird das nicht. Du wirst es mit dreien zu tun haben.


Schau mal hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreis3p.htm

Ich denke gut erklärt mit Beispiel :).

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Kommentar zu Aufgabe b muss ich zurück nehmen.. :(

b)      x²+y²+x-y-1 = 0

= x² + x + y²+-y  -1 = 0   |binomische Formel ergänzen

= x²+x + 0,25  + y²-y  + 0,25  = 1

= (x+0,5)² + (y-0,5)²  -1 =  0

M = (-0,5 | +0,5) - STIMMT MIT LÖSUNGSBUCH    -  r = 1 (Stimmt nicht: 1/2√6)

Kannst du mir sagen wie ich auf r komme und wo mein Rechenfehler war?

Vg!

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Undeutlich geschrieben, meine Lösung für r war "1" da - 1 zu +1 wird und anschließend quadriert wird, siehe da - 1.

Lösungsbuch gibt mir dennoch "1/2√6"

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= x² + x + y²+-y  -1 = 0   |binomische Formel ergänzen

= x²+x + 0,25  + y²-y  + 0,25  = 1

 

Du hast wirklich nur "ergänzt". Du musst aber auch dafür sorgen, dass Du die Aussage der Gleichung nicht änderst. Das was Du ergänzt musst Du auch direkt wieder abziehen ;).

= x²+x + 0,25 -0,25 + y²-y  + 0,25 -0,25  = 1

= (x+0,5)² -0,25 + (y-0,5)²  -0,25 -1 =  0

= (x+0,5)² + (y-0,5)²  -1,5 =  0

 

Damit ist r=√3/2 = 1/(2√6)

 

;)

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Bedeutet, die binomische Formel wird ergänz um daraus (x+y)² zu schaffen, wobei die Gleichung stets gleich bleiben soll indem der Wert danach wieder abgezogen wird?


Kann man dass so beschreiben?


Vg

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-> (x+y)²

Das ist eine unglückliche Wahl an Variablen, da die schon belegt sind.

Nimm lieber (a+b)^2

Sonst aber richtig ;).

Answer 2

Die nachfolgenden Werte beschreiben einen Kreis, weil x und y im Quadrat vorkommen und weil die Vorzeichen dieser Quadrate positiv sind. Wären sie negativ mit gleichbleibenden anderen Werten gäbe es auch einen Kreis. Die Lage und der Radius wären aber anders.

$f(x,y)=x^2+ y^2 + 4x - 2y + 1$

$f_x(x,y)=2x+ 4$       $2x+ 4=0$      $x=-2$

$f_y(x,y)= 2y - 2$      $2y - 2=0$     $y=1$

Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten M $(-2|\green{1})$

Bestimmung des Radius:

$x^2+ y^2 + 4x - 2y + 1=0$ geschnitten mit  $y=\green{1}$:

$x^2 + 4x =0$

$x(x+4)=0$

$x_1=0$     $x_2=-4$

Der Durchmesser hat die Länge $d=0+|-4|=4$.

Somit ist der Radius $r=2$

Comments

Die nachfolgenden Werte beschreiben einen Kreis, weil x und y im Quadrat vorkommen und weil die Vorzeichen dieser Quadrate positiv sind.

Nach dieser Logik wäre x²+4y²=1 auch ein Kreis (ist es aber nicht).

Dann hast du in deinem Geogebra-Bild noch die Gleichung -x²-y²+4x-2y+1=0, die trotz negativer Vorzeichen der Quadrate auch einen Kreis beschreibt.

Ich möchte einmal mit Profis arbeiten.

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Es steht da "mit gleichbleibenden anderen Werten"  und in der Rotzeichnung ist auch nichts anderes zu sehen.