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Aufgabenstellung
Bestimme die Gleichung des Kreises K mit dem Mittelpunkt M (0I8) und Radius R = 17. Gesucht sind doe Gleichungen der Tangenten an den Kreis K, die Senkrecht auf die Gerade g: $$\overrightarrow { { r }_{ x } } =\quad \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -8 \\ 15 \end{pmatrix}$$


Welche Informationen bekomme ich aus dem Text?

-Kreis-
(x-u)^{2} + (y-v)^{2} = r^{2}
u=0, v=8, R=17

k: (x-0)^{2} + (y-8)^{2} = 17^{2}

-Gerade-
Geht durch den Punkt P(x=3 , y=7)
m = 15/-8
7=-45/8 + q
56/8=-45/8 + q
q=101/8

g: y = -15/8x + 101/8


Meine Idee / Problem

Schnittpunkt der Gerade und dem Kreis rechnerisch herausfinden, dann muss ich in diesen Schnittpunkten eine Gerade mit der Steigung m1*m2=-1legen.

Das Problem ist, dass ich keine Zahlen bekomme, die mir plausibel sind und dafon ausgehe, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe und den zu wissen, würde mir mega viel bringen ! :)
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Mein Rechenweg
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2 Antworten

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Beste Antwort

"Schnittpunkt der Gerade und dem Kreis rechnerisch herausfinden, dann muss ich in diesen Schnittpunkten eine Gerade mit der Steigung m1*m2=-1legen." Nein, das ist nicht richtig. Die Tangenten sollen ja nicht durch die Schnittpunkte gehen. Du musst eine Parallele zur Geraden (deren Gleichung richtig berechnet wurde) durch den Mittelpunkt des Kreises mit dem Kreis schneiden. Durch diese Schnittpunkte gehen die Tangenten. Sie habn die Steigung 8/15.

von 49 k

Vorgehensweise
Wenn ich dich richtig verstanden habe, geht meine Gerade nicht durch den Mittelpunkt.

Ich brauche also eine neue Gerade g':
sie ist Parallel zu der bereits gegebener Gerade g ⇒ m = -15/8
geht aber durch denn Mittelpunkt (0 I 8) geht. ⇒ x=0 , y=8

g': y = -15/8x +8
(Diese ist Parallel zu der vorigen Gleichung, und geht durch den Mittelpunkt des Kreises.)


Jetzt muss ich diese Gleichung g' in die Kreisgleichung einsetzen um die Schnittpunkte herauszufinden, oder? und in den Schnittpunkten lege ich dann Tangenten, diese müssen dann senkrecht zu g (welche ursprünglich in Parameterform vorlag) sein.

Stimmen meine Überlegungen?

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Neue Tangentengleichungen
Mit dieser Methode kam ich auf zwei Tangentengleichungen t_(1) und t_(2)

t_(1): y = 8/15x - 196/15

t_(2): y = 8/15x + 409/15


Das Bild sieht korrekt aus! :)Bild Mathematik


Hallo Roland,
ich kenne die in der Aufgabenstellung gewählte
Schreibweise für die Gerade nicht.

Entspricht  es
y = - 8 / 15 * x + 113 / 15   ?

@georgborn
Das ist eine Gerade in Parameterform.
(3, 7) ist ein Punkt(Aufpunkt) in der Ebene, durch den die Gerade verläuft.
(3, 7) nennt man auch Ortsvektor oder Stützvektor.
(-8, 15) ist der Richtungsvektor. Durch einsetzen reeller Zahlen in t lässt sich jeder Punkt auf der Geraden angeben.
Der Richtungsvektor ist -8 in x Richtung und 15 in y Richtung, die Steigung ist deshalb m = 15/-8 so wie es limonade
bereichts vorgerechnet hat.


@limonade
Du hast dich bestimmt nur vertippt, ich habe t1: y = 8/15x - 169/15 und meine Graphen sehen genauso aus wie bei dir.

hier meine Berechnungen

Bild Mathematik

t ( x ) = 8 / 15 * x + 409 / 15

Der Grundgedanke :
und die erste Ableitung der Kreisgleichung
nach y ´ bilden und gleich m setzen.
Dann nach x auflösen.

An limonade: Die Berührpunkte der Tangenten mit dem Krets sind (8/-7) und (-8/23). Die Steigung der Tangenten ist 8/15. Aus Punkt und Steigung kann man leicht die zugehörige Geradengleichung bilden.

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Mir deine gesamten Berechnungen anzusehen
und den / die Fehler zu suchen ist mir zuviel
Arbeit.

Lösungswege
- Schnittpunkte berechnen

oder
- Am Schnittpunkt muß die Steigung der Tangente
betragen.
m = - 1 / ( -15 / 8 ) = 8 /15

Nun die erste Ableitung der Kreisgleichung
nach y ´ bilden und gleich m setzen.
Dann nach x auflösen.

Ich rechne alles einmal mit meinem
Matheprogramm aus.

von 83 k

Studiere Pythagoräische (oder pythagoreische ?) Zahlentripel !

Hallo Georg, hj2166 gefällt sich mal wieder in kryptischen Andeutungen. Sieh dir mal meinen Lösungsvorschlag an. Roland

.. so kryptisch ist das nun auch wieder nicht. Erkennt man 8,15,17 als pythagoräisches Tripel, so fällt einem die Lösung in den Schoß!

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