Textgleichung: Erste von zwei Zahlen + 4 = Summe der Quadrate + 80, zweite Zahl - 2 = Summe der Quadrate - 20

Question

Folgende Aufgabe:

Vermehrt man die erste von zwei gedachten Zahlen um 4, so wird die Summe ihrer Quadrate um 80 größer. Vermindert man die zweite um 2, so wird die Summe der Quadrate um 20 kleiner. Wie heißen die Zahlen?

Lösung soll x = 8 und y = 6 sein.

 

 

Meine Überlegungen:

x² + y² = z

x+4 in Gleichung einsetzen für x ->  x²+y² = z+80

y-2 in Gleichung einsetzen für y ->  x²+y² = z-20

 

Mir fällt leider nicht ein, wie ich die Rechenoperation von x+4 bzw. y-2 jeweils vor dem Quadrieren einbeziehe ohne ein Binom zu erzeugen bzw. die Zahl nicht mitzuquadrieren.

Comments

mist hab angabe falsch verstanden. Mom ich schau mal...

Answer 1

Hi DCoben, 

x² + y² = z

Dann: 

I. (x + 4)² + y² = z + 80 = x² + y² + 80

II. x² + (y - 2)² = z - 20 = x² + y² - 20

Umsortieren ergibt 

I. (x + 4)² + y² - x² - y² = 80

II. x² + (y - 2)² - x² - y² = -20

Ausmultiplizieren:

I. x² + 8x + 16 + y² - x² - y² = 80

II. x² + y² - 4y + 4 - x² -y² = - 20

Weiter vereinfachen: 

I. 8x = 64

II. -4y = -24

Also

x = 8

y = 6

Probe: 

z = 64 + 36 = 100 

12² + 36 = 144 + 36 = 180 | stimmt

64 + 4² = 64 + 16 = 80 | stimmt

 

Besten Gruß

Answer 2

Setze einfach so ein, wie du es geschrieben hast - und statt z schreibst du die Summe der Quadrate von x und y, denn mit dieser Summe sollen die veränderten Quadratsummen ja verglichen werden.

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem, welches sich aber ohne große Schwierigkeiten lösen lässt, wie sich im Folgenden zeigt:

( x + 4 ) ² + y ² = x ² + y ² + 80

x ² + ( y - 2 ) ² = x ² + y ² - 20

[Ausmultiplizieren:]

<=>

x ² + 8 x + 16 + y ² = x ² + y ² + 80

x ² + y ² - 4 y + 4 = x ² + y ² - 20

[in beiden Gleichungen heben sich die x ² und y ² gegeneinander auf:]

<=>

8 x + 16 = 80

- 4 y + 4 = - 20

<=>

8 x = 64

4 y = 24

<=>

x = 8

y = 6

Answer 3

1. Gleichung:

x^2+y^2=(x+4)^2+y^2-80 |-y^2 |-x^2

8x+16-80 |+64 |:8

x=8

2. Gleichung:

x^2+y^2=x^2+(y-2)^2+20 |-y^2 | -x^2

-4y+24=0 |+4y |:4

y=4

Comments

Alles soweit nachvollziehbar, allerdings kommt für y = 6 heraus (laut Löser). Ich schaue gerade selber nochmal komplett

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nein stimmt eh y=6. War nur ein schreibfehler

24/4 ist eh noch immer 6 :)