infimum supremum beweise oder widerlege

Question

Meine Frage: Beweise oder widerlege: Sei A Teilmenge von IR nicht leer und beschränkt. Dann gilt inf A =< sup A. 

Meine Idee: sup{a}=inf{a}=max{a}=min{a}=a für alle a element IR

Comments

Schlechte Idee, eigentlich ueberhaupt keine ...

In jedem Fall besteht eine Idee nicht darin, kommentarlos eine "Formel" hinzukleistern.

Answer 1

Sei A Teilmenge von IR nicht leer und beschränkt.

Da inf(A) eine untere Schranke ist, gilt für alle a ∈ A     inf(A) ≤ a

Da sup(A) eine obere Schranke ist, gilt für alle a ∈ A    a  ≤  sup(A) .

Da A nicht leer ist, gibt es ein a ∈ A   und für dieses gilt dann

  inf(A) ≤   a  ≤  sup(A)  und wegen der Transitivität

der ≤ - Relation also auch  inf(A) ≤    sup(A)     q.e.d.