Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x_1 , x_2 )= ln(x_1) + 75 * ln(x_2)

Question

Das mit dem natürlichen Logarithmus ist einfach nicht mein Ding...

Ich brauche Eure Hilfe...

Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x_1 , x_2 )= ln(x_1) + 75 * ln(x_2) 

Answer 1

Lösung mit Lagrange:

$U(x,y,λ)=50\ln(x)+75\ln(y)+λ(2x+2y-140)$

1.)$U_x(x,y,λ)=\frac{50}{x}+2λ$   →  1.)  $\frac{50}{x}+2λ=0$

2.)$U_y(x,y,λ)=\frac{75}{y}+2λ$ →   2.)$\frac{75}{y}+2λ=0$

3.)  $U_λ(x,y,λ)=2x+2y-140$    →  3.)  $2x+2y-140=0$

1.) - 2.):$\frac{50}{x}=\frac{75}{y}$

$50y=75x$     $2y=3x$  in 3.) : $2x+3x-140=0$

$5x=140$      $x=28$     $y=1,5 \cdot 28=42$

$U(28,42)=50\ln(28)+75\ln(42)\\=50\cdot 3,332204510175204+75\cdot 3,73766961828336=446,935$

Also Antwort c.

Comments

Die Antwort ist richtig.

Answer 2

Herr Lagrange kann hier weiterschlafen. Da beide Güter gleich teuer sind:

$\displaystyle x_1 = \frac{140}{2} \cdot \frac{50}{50+75}$

$\displaystyle x_2 = \frac{140}{2} \cdot \frac{75}{50+75}$

Comments

In dem Falle wäre es vermutlich besser gewesen, wenn du auf die Besonderheit des Logarithmus eingehst. Denn wenn die Produkte x1 und x2 z.B. mit der Wurzel in den Nutzen eingehen, sieht es eben anders aus.

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Dann wäre, ebenfalls ohne Lagrange:

$\displaystyle x_1 = \frac{140}{2} \cdot \frac{50^2}{50^2+75^2}$

$\displaystyle x_2 = \frac{140}{2} \cdot \frac{75^2}{50^2+75^2}$

Das lernt man an einer Wirtschaftshochschule, wo ich solche Fragesteller verorte, eigentlich in den unteren Semestern Mikroökonomie.

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Solange es nur 2 Variablen sind, kann ich Lagrange immer umgehen, solange die Nebenbedingung nach einer Varablen auflösbar ist.