Zeigen Sie, dass ein ξ ∈ [a, b] existiert mit f(ξ) = g(ξ).

Question

ich brauche hilfe, diese Aufgabe zu lösen

Es seien f, g : R → R stetige Funktionen mit f(a) ≤ g(a) und g(b) ≤ f(b), wobei a < b.
Zeigen Sie, dass ein ξ ∈ [a, b] existiert mit f(ξ) = g(ξ).

Answer 1

Hallo Stefan,

Zuerst solltest du dir überlegen warum \( f-g \) eine stetige Funktion ist. Dann haben wir \( u_1:=f(a)-g(a)\le0 \) und \( u_2:=f(b)-g(b)\ge 0 \), also ist \( 0\in [u_1,u_2]\). Nach dem Zwischenwertsatz existiert dann ein \( \xi \in [a,b] \) mit \( (f-g)(\xi) = 0\), insb. \( f(\xi) = g(\xi) \).

Grüß